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评估验收卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列点不在直线(t为参数)上的是(　　)
A．(－1，2)　　　　　 B．(2，－1)
C．(3，－2) D．(－3，2)
解析：直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
答案：D
2．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为(　　)
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，3) D．(3，－)
解析：把(t为参数)代入x2＋y2＝16中，得1＋t＋t2＋3＝16，
即t2－8t＋12＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，
所以AB的中点对应的参数t＝＝4.
所以
即AB的中点坐标为(3，－)．
答案：D
3．已知某曲线的参数方程是(其中a是参数)，则该曲线是(　　)
A．线段 B．圆
C．双曲线 D．圆的一部分
解析：消参可得x2－y2＝1，
又|x|＝≥1，当且仅当a＝时“＝”成立，所以x≤－1或x≥1，该曲线为双曲线．
答案：C
4．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r与圆(φ是参数)的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析：易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．
答案：B
5．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与点P(a，b)之间的距离是(　　)
A．|t1| B．2|t1|
C.|t1| D.|t1|
解析：点P1与点P之间的距离为
＝＝|t1|.
答案：C
6．已知圆的渐开线(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为(　　)
A．π B．3π
C．4π D．9π
解析：把已知点(3，0)代入参数方程得
由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r＝3，所以基圆的面积为9π.
答案：D
7．已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C．－　　　　D．－
解析：圆C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(－1，1)．直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为kCA＝－5，所以－k＝，所以k＝－.
答案：D
8．曲线(t为参数)与坐标轴的交点是(　　)
A.、
B.、
C．(0，－4)、(8，0)
D.、(8，0)
解析：当x＝0时，t＝，而y＝1－2t，即y＝，
故曲线与y轴的交点为；
当y＝0时，t＝，而x＝－2＋5t，即x＝，故曲线与x轴的交点为.
答案：B
9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)
A. B．2 C. D．2
解析：由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，
圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
圆心到直线l的距离d＝＝，
直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
答案：D
10．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：消参得抛物线的普通方程为y2＝4x，所以其焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，
由抛物线的定义，得|PF|＝3－(－1)＝4.
答案：C
11．已知在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋＝1上的一个动点，则S＝x＋y的取值范围为(　　)
A．[，5] B．[－，5]
C．[－5，－] D．[－，]
解析：因椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)，因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝(cos φ＋sin φ)＝sin(φ＋γ)，其中tan γ＝，所以S的取值范围是[－， ]，故选D.
答案：D
12．已知直线l的参数方程是(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，则直线l被圆所截得的弦长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由题意知，直线l的普通方程为x－y－＝0，
由极坐标与直角坐标的关系知，
圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.设直线l与圆C交于A、B两点，AB的中点为M，则在Rt△AMC中，
|AC|＝，|CM|＝＝1，
所以|AM|＝＝2，
所以|AB|＝2|AM|＝4.故截得的弦长为4.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．曲线C：(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为________．
解析：曲线C的普通方程为＋＝1，所以a＝3，b＝2，c＝ ＝，所以椭圆C上的点到焦点的距离的最小值为3－.
答案：3－
14．在直角坐标系Oxy中，已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为____________________．
解析：由题意知曲线C：x2＋(y－1)2＝1，
即x2＋y2－2y＝0，由x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ得
ρ2－2ρsin θ＝0，化简得ρ＝2sin θ.
答案：ρ＝2sin θ
15．在圆的摆线上有一点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝对应的点的坐标为__________________．
解析：摆线方程为(φ为参数)，
将点(π，0)代入可得
得cos φ＝1，则φ＝2kπ，k∈Z.
故r＝＝(k∈Z)，又r>0，所以k∈N*，
当k＝1时，r最大为，
再把φ＝代入摆线方程得
故
答案：
16．在直角坐标系Oxy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析：因为C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，
所以两圆圆心之间的距离为d＝＝5.
因为A在曲线C1上，B在曲线C2上，
所以|AB|min＝5－2＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)求圆的直角坐标方程和一个参数方程；
(2)设P(x，y)为圆上任意点，求xy的最大值，最小值．
解：(1)圆的极坐标方程可化为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，化为直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，变为标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆心为(2，2)，半径为.
故其一个参数方程为(θ为参数)．
(2)由(1)可得xy＝(2＋cos θ)(2＋sin θ)＝
4＋2(sin θ＋cos θ)＋2sin θcos θ.
令sin θ＋cos θ＝t，t∈[－，]，
则2sin θcos θ＝t2－1，
则xy＝t2＋2t＋3＝(t＋)2＋1，t∈[－，]，
故当t＝－时，xy取得最小值1，
当t＝时，xy取得最大值9.
18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，试在椭圆上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．
解：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0，设P(2cos θ，sin θ)，
则点P到直线l的距离为d＝＝
，
所以当sin＝1时，d有最小值．
此时sin θ＝sin＝
sincos－cossin＝.
cos θ＝cos＝
coscos＋sinsin＝.
所以点P的坐标为，
故所求点的坐标为.
19．(本小题满分12分)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
20．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．
解：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ.
又x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
(2)将直线l的参数方程化为普通方程，
得y＝－(x－2)．
令y＝0，得x＝2，即M点的直角坐标为(2，0)．
因为曲线C为圆，圆心C的直角坐标为(0，1)，
半径r＝1，则|MC|＝.
所以|MN|≤|MC|＋r＝＋1.
故|MN|的最大值为＋1.
21．(本小题满分12分)已知直线l：(t为参数)经过椭圆C：(φ为参数)的左焦点F.
(1)求m的值；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最大值，最小值．
解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程为＋＝1，
则F的坐标为(－1，0)，
又直线l过点(m，0)，故m＝－1.
(2)把x＝m＋tcos α，y＝tsin α代入椭圆C的普通方程，化简得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcos α－9＝0，
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，
则|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝＝，
故当sin α＝0时，|FA|·|FB|取最大值3，当sin α＝1时，|FA|·|FB|取最小值.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知两圆C1：(x－1)2＋y2＝25和C2：(x＋1)2＋y2＝1，动圆在C1内部且和圆C1相内切并和圆C2相外切，动圆圆心的轨迹为E.
(1)求E的标准方程；
(2)点P为E上一动点，点Q为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2＋|PF|2的最小值．
解：(1)设动圆圆心D(x，y)，半径为r，
由题意|DC1|＝5－r，|DC2|＝1＋r，
所以|DC1|＋|DC2|＝6>|C1C2|＝2，
所以D点的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．
其中2a＝6，c＝1，
所以a＝3，b2＝a2－c2＝8，
故D点的轨迹方程为＋＝1.
(2)易知F(1，0)，由点P在E上，设P(3cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)．
则|PF|2＝(3cos θ－1)2＋(2sin θ)2＝
9cos2θ－6cosθ＋1＋8sin2θ＝cos2θ－6cos θ＋9.
|PO|2＝(3cos θ)2＋(2sin θ)2＝cos2θ＋8，
故|PF|2＋|PO|2＝2cos2θ－6cos θ＋17＝
2＋，
因为cos θ∈[－1，1]，当cos θ＝1时，|PF|2＋|PO|2取最小值为13.