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学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d
C．ac>bd D.>
【解析】　∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
【答案】　A
2．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．b＋a>0 D.a2－b2<0
【解析】　a－|b|>0⇒|b|0.故选C.
【答案】　C
3．若aA.> B．2a>2b
C．|a|>|b|>0 D.>
【解析】　考查不等式的基本性质及其应用．取a＝－2，b＝－1验证即可求解．
【答案】　B
4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么(　　)
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a
【解析】　ab2－ab＝ab(b－1)，
∵a＜0，－1＜b＜0，
∴b－1＜0，ab＞0，∴ab2－ab＜0，即ab2＜ab；
又ab2－a＝a(b2－1)，
∵－1＜b＜0，∴b2＜1，
即b2－1＜0.又a＜0，
∴ab2－a＞0，即ab2＞a.
故ab＞ab2＞a.
【答案】　D
5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的(　　)
【导学号：32750004】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　∵0＜ab＜1，
当a＜0且b＜0时可推得b＞，
所以“0＜ab＜1”不是“b＜”的充分条件， ①
反过来，若b＜，
当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”也不是“b＜”的必要条件， ②
由①②知，应选D.
【答案】　D
二、填空题
6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．
【解析】　f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，
∴f(x)＞g(x)．
【答案】　＞
7．给出四个条件：
①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.
能得出<成立的有________．(填序号)
【解析】　<⇔－<0⇔<0，
∴①②④可推出<成立．
【答案】　①②④
8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．
【解析】　设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，
可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．
又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.
【答案】　[1,7]
三、解答题
9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜；
(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证：＞.
【证明】　(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∴0＜－＜－.又a＞b＞0，
∴－＞－＞0，
∴ ＞，即－＞－.
两边同乘以－1，得＜.
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴＜.
又∵e＜0，
∴＞.
10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤≤9，求的取值范围．
【解】　由4≤≤9，得16≤≤81. ①
又3≤xy2≤8，∴≤≤. ②
由①×②得×16≤·≤81×，
即2≤≤27，因此的取值范围是[2,27]．
[能力提升]
1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜成立，如果a＜0，则b＜0，b＞成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜或b＞”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜或b＞”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分而不必要条件．
【答案】　A
2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是(　　)
A．① B．①②
C．②③ D.①②③
【解析】　由a＞b＞1，c＜0，得＜，＞；幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，所以ac＜bc；因为a－c＞b－c，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，①②③均正确．
【答案】　D
3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出logb＜loga＜logab成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)
【解析】　∵logb＝－1，
若1＜a＜b，则＜＜1＜b，
∴loga＜loga＝－1，故条件①不可以；
若0＜a＜b＜1，则b＜1＜＜，
∴logab＞loga＞loga＝－1＝logb，
故条件②可以；
若0＜a＜1＜b，则0＜＜1，
∴loga＞0，
logab＜0，条件③不可以．故应填②.
【答案】　②
4．已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
【导学号：32750005】
【解】　由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，得
设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有a＝，c＝，
∴f(3)＝9a＋c＝－u＋v.
又∴
∴－1≤－u＋v≤20，
即－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20].