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阶段质量检测（一）A卷
一、选择题
(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是(　　)
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(0，－1)
解析：选B　x＝1×cos π＝－1，y＝1×sin π＝0，即直角坐标是(－1,0)．
2．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P，Q(2，π)，则有(　　)
A．P在曲线C上，Q不在曲线C上
B．P，Q都不在曲线C上
C．P不在曲线C上，Q在曲线C上
D．P，Q都在曲线C上
解析：选C　当θ＝时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q在曲线上．
3．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　将代入y＝sin x，得μy＝sin λx，
即y＝sin λx，与y＝2sin 3x比较，得μ＝，λ＝3，
即变换公式为
4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标为(　　)
A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4
解析：选B　由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，故化为直角坐标方程是x2＋y2＝4y，即(y－2)2＋x2＝4.
5.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，则此长方体的体积为(　　)
A．100 B．120
C．160 D．240
解析：选B　由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.
6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B　设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
7．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为(　　)
A．2 B．6
C．2 D．2
解析：选C　圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝＝＝2.
8．极坐标方程θ＝，θ＝π和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是(　　)
A.π B.π
C.π D.π
解析：选B　三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为－＝.
∴扇形面积为：×4××4＝.
9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于(　　)
A．θ＝轴对称 B．θ＝轴对称
C.中心对称 D．极点中心对称
解析：选B　ρ＝4sin可化为ρ＝4cos，可知此曲线是以为圆心的圆，故圆关于θ＝对称．
10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最近距离等于(　　)
A.－1 B.－1
C．1 D.
解析：选A　将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．(陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
解析：直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝＝，设所求的弦长为l，则12＝2＋2，解得l＝.
答案：
12．点A的直角坐标为，则它的球坐标为________．
解析：r＝＝6.cos φ＝＝，
∴φ＝.tan θ＝＝，∴θ＝.
∴它的球坐标为.
答案：
13．在极坐标系中，点A关于直线l：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．
解析：由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是点A关于l的对称点，则四边形OBA′A是正方形，∠BOA′＝，且OA′＝2，
故A′的极坐标可以是.
答案：
14．已知直线l的方程为y＝x＋1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径 ρ＝________.
解析：直线l的方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1,2)．故该点的极径ρ＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)x2－y2＝1；(2)＋＝1.
解：由伸缩变换得　①
(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1，
因此，经过伸缩变换后，
双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图(1)所示．
(2)将①代入＋＝1得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x′2＋＝1，如图(2)所示．
16．(本小题满分12分)如果点的极坐标为A，B，且△ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标．
解：对于点A，直角坐标为(，)，点B的直角坐标为(－，－)，
设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，
∴·＝0，
即(x－，y－)·(x＋，y＋)＝0，
∴x2＋y2＝4.①
又||2＝||2，
于是(x－)2＋(y－)2＝(x＋)2＋(y＋)2，
∴y＝－x，代入①，得x2＝2，
解得x＝±.
∴或
∴点C的直角坐标为(，－)或(－，)，
∴ρ＝＝2，tan θ＝－1，θ＝或，
∴点C的极坐标为或.
17．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，
直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，
即有＝1，解得a＝－8或a＝2.
故a的值为－8或2.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－上的动点，试求|PQ|的最大值．
解：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，
∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.
又∵ρ＝12cos，
∴ρ2＝12ρ，
∴x2＋y2－6x－6y＝0，
∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.
∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.
19．(本小题满分12分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP·OP′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．
解：以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)，设P(a,0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′(，0)，直线BP的方程为＋＝1，直线B′P′的方程为＋＝1，即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.
设M(x，y)，则由解得
(a为参数)．消去a，可得4x2＋9y2＝36(x≠0)，
所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．
20．(本小题满分12分)已知曲线C1的方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解：(1)将
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.