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考前过关训练(二)
证明不等式的基本方法
(35分钟　60分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.已知m≠n,若x=m4-m3n,y=mn3-n4,则x,y的大小关系为　(　　)
A.x>y B.x=y
C.x【解析】选A.x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)
=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2)
=(m-n)2,
因为m≠n,所以x-y>0,即x>y.
2.求证:-<-.
证明:欲证-<-,
只需证+<2,
只需证(+)2<(2)2,
只需证10+2<20,
只需证<5,只需证21<25,这显然成立.
所以-<-.
上述证明过程应用了　(　　)
A.综合法
B.分析法
C.综合法、分析法配合使用
D.间接证法
【解析】选B.根据分析法的特点可知,上述证明过程是分析法.
3.若1A.(lgx)2B.lgx2<(lgx)2C.(lgx)2D.lg(lgx)<(lgx)2【解析】选D.因为1所以0又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx
=lgx(lgx-2)<0,
所以(lgx)2所以lg(lgx)<(lgx)2【一题多解】选D.因为1所以0结合选项知A,B,C错误.
4.若a,b,c为△ABC的三条边,S=a2+b2+c2,p=ab+bc+ac,则　(　　)
A.S≥2p B.pC.S>p D.p≤S<2p
【解析】选D.S-p=a2+b2+c2-(ab+bc+ac)=
[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0,所以S≥p.
又因为|a-b|所以a2-2ab+b25.已知x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则M与N的大小关系是　(　　)
A.M≥N B.M≤N
C.M=N D.不能确定
【解析】选A.M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)
=[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]
=[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.故M≥N.
6.(2016·合肥高二检测)已知a,b,c是△ABC的三边长,A=+,B=,则
(　　)
A.A>B B.AC.A≥B D.A≤B
【解析】选A.因为a,b,c是△ABC的三边长,所以c所以B==<==+<+=A,所以B【补偿训练】设a,b,x,y均为正数,且a,b为常数,x,y为变量,若x+y=1,则+的最大值为　(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
【解析】选C.本题可利用换元的方法处理:由x+y=1且x>0,y>0,可设x=
sin2α,y=cos2α,故+=sinα+cosα=sin(α+φ)≤.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2016·沈阳高二检测)设α,β为锐角,P=sin(α+β),Q=sinα+sinβ,则P与Q的大小关系为________.
【解析】因为α,β为锐角,
P-Q=sin(α+β)-(sinα+sinβ)
=sinα(cosβ-1)+sinβ(cosα-1)<0,
所以P答案:P8.(2016·郑州高二检测)A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________.
【解析】A=+++…+≥==.
答案:A≥
9.若a,b∈R+,且a≠b,M=+,N=+,则M,N的大小关系为________.
【解析】因为a≠b,所以+>2,+>2,
所以+++>2+2.
所以+>+.即M>N.
答案:M>N
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知0【证明】因为(3a-1)2≥0,
所以9a2-6a+1≥0.
所以1+3a≥9a(1-a).
因为0即≥9,所以+≥9.
11.已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明:ax+by≤1.
【证明】要证ax+by≤1成立,
只需证1-(ax+by)≥0,
只需证2-2ax-2by≥0,
因为a2+b2=1,x2+y2=1,
只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0,
即证(a-x)2+(b-y)2≥0,显然成立.
所以ax+by≤1.
12.设数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1).等比数列{bn}的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设数列的前n项和为Mn,求证:≤Mn<.
【解析】(1)因为等比数列{bn}的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5,所以b4+b5=2b5,
所以b4=b5,所以公比a1==1,故等比数列{bn}是常数数列.
数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1),
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=nan-2n(n-1)-[(n-1)an-1-2(n-1)(n-2)],所以an-an-1=4(n≥2),
所以数列{an}是以1为首项,以4为公差的等差数列,an=4n-3.
(2)因为数列的前n项和为Mn,
==
=,所以Mn=
=<.
再由数列{Mn}是增数列,所以Mn≥M1=.
综上可得,≤Mn<.
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