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课时训练5　数列的概念与简单表示法
一、数列的概念及分类
1.下列叙述正确的是(　　)
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列是递增数列
答案:D
解析:数列中的项是有序的,故A错;B中通项为{n-1};C中数列为摆动数列,故选D.
2.数列5,4,3,m,…是递减数列,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,3) B.(-∞,2)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
答案:A
解析:依据递减数列的定义,只要后面的项比它的前一项小即可,所以m的取值范围是(-∞,3).
3.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A.1,,…
B.sin,sin,sin,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,…,
答案:C
4.下面的数列中,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?
(1)1,2,3,4,5,6,7,…;
(2)10,8,6,4,…;
(3)1,0,1,0,1,0,…;
(4)a,a,a,a,….
解:(1)递增数列,因为从第2项起,每一项都大于它的前一项;
(2)递减数列,因为从第2项起,每一项都小于它的前一项;
(3)摆动数列,因为从第2项起,数列中有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项;
(4)常数列.
二、数列的通项公式及应用
5.(2015河南南阳高二期中,1)已知数列,…,则5是它的第(　　)项.
A.19 B.20 C.21 D.22
答案:C
解析:数列,…中的各项可变形为,…,∴通项公式为an=,令=5,得n=21.故选C.
6.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).
则第7个三角形数是(　　)
A.27 B.28 C.29 D.30
答案:B
解析:由已知从第二项起,每一项与前一项的差是这一项的项数,即a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,以此规律得a6-a5=6,∴a7-a6=7.
∴a7=7+a6=7+6+a5=13+15=28.
7.数列{an}的通项公式an=,则-3是此数列的第　　　　　项. 
答案:9
解析:an=,
令n=9,则a9=-3.
∴-3是数列中第9项.
8.已知数列的通项公式为an=2n2-n.
(1)求这个数列的第8项,第10项;
(2)试问:45是否是{an}中的项?3是否是{an}中的项?
解:(1)∵an=2n2-n,
∴当n=8时,a8=2×82-8=120;
当n=10时,a10=2×102-10=190.
(2)an=2n2-n,令an=45,则有2n2-n-45=0,
解得n=5或n=-(舍去),
∴45是该数列的第5项.
令an=3,则有2n2-n-3=0.
该方程不存在正整数解,故3不是该数列中的项.
9.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数.
(1)a,b,a,b,…;
(2),…;
(3)-,-,…;
(4),2,,8,,….
解:(1)数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示,记为an=也可记为an=+(-1)n+1·.
(2)这个数列的前4项分别为,其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故an=.
(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故an=.
(4)该数列的项中有的是分数,有的是整数,将各项都统一成分数为,…,观察可知各项分母都是2,分子都是序号的平方,所以an=.
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1.数列,2,…,则2是该数列的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第6项 B.第7项
C.第10项 D.第11项
答案:B
解析:由an==2,解得n=7.
2.数列0,,…的通项公式为(　　)
A.an= B.an=
C.an= D.an=
答案:C
解析:原数列可变形为,…,
∴an=.
3.已知数列的通项公式an=则a2a3等于(　　)
A.70 B.28 C.20 D.8
答案:C
解析:由an=
得a2a3=2×10=20.∴选C.
4.已知数列{an}满足:a1>0,,则数列{an}是(　　)
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.不确定
答案:B
解析:由已知数列各项为正,且从第二项起每一项是前一项的,则数列{an}是递减数列.
5.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为(　　)
A.2 B.6 C.7 D.8
答案:C
解析:数字为1的有1个,数字为2的有2个,数字为3的有3个,∴按照此规律.
当数字为6时,共有1+2+3+4+5+6=21项,当数字为7时,共有1+2+3+4+5+6+7=28项.
∴第25项为7.
6.已知数列{an},an=an+m(a<0,n∈N*),满足a1=2,a2=4,则a3=　　　　　. 
答案:2
解析:∵
∴an=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2.
7.下列叙述中正确的为　　　　. 
①数列an=2是常数列;
②数列是摆动数列;
③数列是递增数列;
④若数列{an}是递增数列,则数列{anan+1}也是递增数列.
答案:①②③
解析:①中每一项均为2,是常数列.②中项的符号由(-1)n调整,是摆动数列.③可变形为,为递增数列.④中若an=n-3,则anan+1=(n-3)(n-2)=n2-5n+6,不是递增数列.
8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖　　　　块. 
答案:4n+2
解析:第1个图案有白色地面砖6块,第2个图案有10块,第3个图案有14块,可以看出每个图案较前一个图案多4块白色的地面砖.
∴第n个图案有6+4(n-1)=(4n+2)(块).
9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1),…;
(2)1,3,6,10,15,…;
(3)7,77,777,….
分析:(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为,…,于是它们的分母依次相差3,因而有an=.
(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分母都乘以2,即,…,因而有an=.
(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…,因而有an=(10n-1).
解:(1)an=;
(2)an=;
(3)an=(10n-1).
10.已知数列{an}的通项公式an=.
(1)求a10.
(2)是否是这个数列中的项?
(3)这个数列中有多少整数项?
(4)是否有等于序号的项?若有,求出该项;若没有,说明理由.
解:(1)a10=.
(2)令,得n=100,故是这个数列的第100项.
(3)∵an=1+,
∴当n=1,2,3,6时,an为整数,
故这个数列中有4项是整数项.
(4)令=n得n2-n-6=0,
解得n=3或n=-2(舍去),
故该数列中有等于序号的项,即a3=3.