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单元质量评估(一)
(第一讲)
(90分钟　120分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2016·聊城高二检测)如果a,b,c满足cA.ab>ac B.c(b-a)>0
C.cb2【解析】选C.由已知可得,a>0,c<0,b-a<0,a-c>0.故A,B,D均正确,当b=0时,C不正确.
2.若-4A. B.
C.-1 D.1
【解析】选C.=-[(1-x)+]≤-1.
当且仅当x=0时,等号成立.
3.(2016·西安高二检测)函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为　(　　)
A.2 B. C.4 D.6
【解析】选A.y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2.
4.已知x>1,y>1,且lgx+lgy=4,则lgxlgy的最大值是　(　　)
A.4 B.2 C.1 D.
【解析】选A.由x>1,y>1,故lgx>0,lgy>0,
所以4=lgx+lgy≥2
所以lgxlgy≤4,当且仅当x=y=100时取等号.
5.(2016·宿州高二检测)不等式|x2-x|<2的解集为　(　　)
A.(-1,2) B.(-1,1)
C.(-2,1) D.(-2,2)
【解析】选A.原不等式可化为-2解得-16.(2016·广州高二检测)在下列函数中,最小值是2的是　(　　)
A.y=+(x∈R且x≠0)
B.y=lgx+(1C.y=3x+3-x(x∈R)
D.y=sinx+
【解析】选C.A中,当x<0时,y<0;B中,因为12;故A,B中最小值都不是2.
D中,02.无最小值.
只有C正确.
7.已知a>0,b>0,a,b的等差中项是,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值是
(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选C.因为a+b=2×=1,
所以α+β=a++b+=1++
=1++=3++≥5,
当且仅当a=b=时等号成立.
8.设0(　　)
A.(a-b)2 B.(a+b)2
C.a2b2 D.a2
【解题指南】本题的关键是利用x+(1-x)=1结合基本不等式加以求解.
【解析】选B.由+=[x+(1-x)]
=a2+b2++
≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
当且仅当=时等号成立,
所以m≤(a+b)2,m的最大值为(a+b)2.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
9.(2016·东营高二检测)不等式|x+3|-|x-1|=a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.
【解析】设f(x)=|x+3|-|x-1|,
则f(x)≤|(x+3)-(x-1)|=4,
所以原不等式恒成立等价于a2-3a≤4.
解得-1≤a≤4.
答案:[-1,4]
10.(2016·广州高二检测)函数f(x)=3x+(x>0)的最小值为　　　　.
【解析】f(x)=3x+=++≥3=9,当且仅当=,即x=2时取等号.
答案:9
【补偿训练】函数y=x2+(x>0)的最小值是　(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
【解析】选A.y=x2+=x2++
≥3=3=.
当且仅当x2=即x =时等号成立.
11.(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　.
【解析】由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
又f(x)是偶函数,
所以由f(2|a-1|)>f(-)=f()知,2|a-1|<,
即|a-1|<,解得答案:
12.(2016·连云港高二检测)已知关于x的方程x2+x++=0有实根,则实数a的取值范围为　　　　　.
【解析】因为关于x的方程x2+x++=0有实根,所以Δ=1-4(+)≥0,
即+≤,
解得0≤a≤.
答案:0≤a≤
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
【解析】因为x>0,y>0,所以30=x+2y+xy
≥2+xy=2+xy,
所以()2+2-30≤0,
所以(-3)(+5)≤0,
所以0<≤3,即0当且仅当x=2y,即x=6,y=3时等号成立.
所以xy的取值范围为(0,18].
【一题多解】本题还可用消元的方法:
因为x+2y+xy=30,所以y=,
所以xy=x·=
=
=-x+32-=-(x+2)-+34,
又因为x>0,
所以(x+2)+≥2=16,
当且仅当x+2=,即x=6时,等号成立,
所以xy≤-16+34=18,
当且仅当x=6,y=3时等号成立.
所以xy的取值范围是(0,18].
14.(10分)(2016·郑州高二检测)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)求当a=1时,不等式f(x)≥3x+2的解集.
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
【解析】(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为
{x|x≥3或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0,
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a>0,
所以不等式组的解集为.
由题设可得-=-1,故a=2.
15.(10分)已知a>0,b>0且a2+=1,求a的最大值.
【解析】a=·a·
=·
≤·=·=,
当且仅当a2=时,等号成立.
又a2+=1,即a=,b=时,等号成立.故所求最大值为.
16.(10分)(2016·南昌高二检测)f(x)=|x+1|+|x-3|.
(1)解不等式f(x)≤3x+4.
(2)若不等式f(x)≥m的解集为R,试求实数m的取值范围.
【解析】(1)f(x)=原不等式等价于:
或或
所以不等式的解集为[0,+∞).
(2)由绝对值的几何意义可知,|x+1|+|x-3|≥4,当且仅当-1≤x≤3时,等号成立,即f(x)min=4,
从而要使f(x)≥m的解集为R,只需m≤f(x)min,
即实数m的取值范围是(-∞,4].
17.(10分)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象.
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
【解析】(1)如图所示:
(2)f(x)=
|f(x)|>1,
当x≤-1时,|x-4|>1,
解得x>5或x<3,所以x≤-1.
当-11,
解得x>1或x<,
所以-1当x≥时,|4-x|>1,
解得x>5或x<3,
所以≤x<3或x>5.
综上,x<或15,
所以|f(x)|>1的解集为
∪(1,3)∪(5,+∞).
18.(10分)(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,
f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,
解得当x≥1时,不等式化为-x+2>0,
解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得,
f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>6,
故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).
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