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学业分层测评（三）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(　　)
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)
【解析】　∵6＝x＋y＋z≥3，
∴xyz≤8.
∴lg x＋lg y＋lg z
＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.
【答案】　B
2．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为(　　)
A．nn　 　　B．2n　 　　C．n2　 　　D．2n＋1
【解析】　x＋＝＋，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.
【答案】　A
3．设0A. B．1 C. D.
【解析】　∵0∴0<1－x<1，
∴x(1－x)2＝·2x·(1－x)·(1－x)
≤3＝.
当且仅当x＝时，等号成立．
【答案】　D
4．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则(　　)
【导学号：32750016】
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D.z≤y≤x
【解析】　由a，b，c大于0，易知≥，即x≥y.又z2＝，x2＝，
且x2＝≤＝，
∴x2≤z2，则x≤z，
因此z≥x≥y.
【答案】　B
5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为(　　)
A．2 B．7
C．8 D.1
【解析】　∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，
∴x2y3z≤1，当＝y＝4z时，取“＝”，
即x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1.
【答案】　D
二、填空题
6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是________．
【解析】　由题意知a＋(b*c)＝a＋＝，
(a＋b)*(a＋c)＝＝，
所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
【答案】　a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)
7．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为________．
【解析】　∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，
则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．
【答案】　8
8．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥.
其中正确的不等式序号是________．
【解析】　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴1＝a＋b＋c≥3，
0从而①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1，
∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，
因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥，③正确．
【答案】　①②③
三、解答题
9．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋（＋＋）≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
【证明】　因为a，b，c均为正数，由算术­几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)， ①
＋＋≥3(abc).
所以≥9(abc). ②
故a2＋b2＋c2＋
≥3(abc)＋9(abc).
又3(abc)＋9(abc)≥2＝6， ③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．
10．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.
【解】　(1)因为x＋y＋z≥3>0，＋＋≥>0，
所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时，＝＝取最小值3.
(2)证明：x2＋y2＋z2＝
≥
＝＝3.
又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，
所以3≤x2＋y2＋z2<9.
[能力提升]
1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是(　　)
A．V≥π　　B．V≤π　　C．V≥π　　D．V≤π
【解析】　设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π＝π.
当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
【答案】　B
2．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　)
【导学号：32750017】
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥
3＝3＝3＝3.
【答案】　C
3．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
【解析】　∵2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a.又∵x－a＞0，
∴2x＋≥3＋2a
＝3＋2a，
当且仅当x－a＝，即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋的最小值为3＋2a.
由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
【答案】　2
4．如图1­1­3(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图1­1­3(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．
图1­1­3
【解】　设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，
由图可有2h＋x＝，
∴h＝(1－x)，
V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··(1－x)
＝9×××(1－x)≤9×3＝.
当且仅当＝1－x，即x＝时，等号成立．
所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.