本文由 d2550561a 收集发布，转载请注明出处，如有问题请联系我们！高中数学必修5练习 等差数列的前n项和 Word版含解析
课时训练9 等差数列的前n项和
一、等差数列前n项和公式及应用
1.在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1为( )
A.5或7 B.3或5 C.7或-1 D.3或-1
答案:D
解析:a1+(n-1)×2=11 ①,Sn=na1+×2=35 ②,由①②解得a1=3或a1=-1.
经检验,a1=3与a1=-1均符合题意,故选D.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于( )
A.18 B.36 C.54 D.72
答案:D
解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18.
∴S8==4(a1+a8)=4(a4+a5)=72.
3.(2015河北邯郸三校联考,2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于( )
A.160 B.180 C.200 D.220
答案:B
解析:∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20).
∴a1+a20=18.∴S20==180.故选B.
4.设Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和.若S9=3a8,则=( )
A.15 B.17 C.19 D.21
答案:A
解析:由S9=3a8,得(a1+a15),即9a5=,所以=15.
5.有一个凸n边形,各内角的度数成等差数列,公差是10°,最小角为100°,则边数n= .
答案:8
解析:n×100°+×10°=(n-2)×180°,解得n=8或n=9.又an=100°+(n-1)×10°<180°,∴n=8.
6.已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn.设Sk=2 550,求a和k的值.
解:设{an}的公差为d,由已知得,a1=a-1,a2=4,a3=2a.
又2a2=a1+a3,∴8=(a-1)+2a,∴a=3,
∴a1=2,d=a2-a1=2.
由Sk=ka1+d,得2k+×2=2550,
即k2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去),∴a=3,k=50.
二、由Sn求解数列的通项公式
7.设数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为 .
答案:an=
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1.
当n=1时,a1=S1=1+1=2不适合上式.
∴数列{an}的通项公式为an=
8.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-2,求数列{an}的通项公式.
解:当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1,而2×31-1=2≠1.
故数列{an}的通项公式为an=
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+2SnSn-1=0(n≥2).
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明:∵n≥2时,an=Sn-Sn-1,
又an+2SnSn-1=0,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.
∵Sn≠0,两边同除以SnSn-1,得
+2=0,即=2(n≥2),
∴数列是等差数列.
(2)解:∵a1=1,=1,
∴=1+(n-1)×2=2n-1,∴Sn=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
=-.
而-=2≠1,故{an}的通项公式an=
(建议用时:30分钟)
1.在等差数列{an}中,若a1-a4+a8-a12+a15=2,则S15等于( )
A.28 B.30 C.31 D.32
答案:B
解析:∵a1-a4+a8-a12+a15
=(a1+a15)-(a4+a12)+a8=a8=2.
∴S15==30.
2.在等差数列{an}中,公差d≠0,首项a1≠d.如果这个数列的前20项的和S20=10M,则M应是( )
A.a5+a15 B.a2+2a10
C.2a1+19d D.a20+d
答案:C
解析:∵S20=20a1+d=10(2a1+19d)=10M,
∴M=2a1+19d.
3.已知数列{an}为等差数列,其前n项的和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d=( )
A.1 B.2 C.3 D.
答案:B
解析:在等差数列中,S3==12,解得a1=2,所以解得d=2,选B.
4.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为( )
A.20 B.21 C.22 D.24
答案:A
解析:由数列前n项和公式可得=781,解得k=20.
5.(2015江西吉安联考,5)在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11等于( )
A.24 B.48 C.66 D.132
答案:D
解析:∵数列{an}为等差数列,设其公差为d,
∵a9=a12+6,
∴a1+8d=(a1+11d)+6,
∴a1+5d=12,即a6=12.
∴数列{an}的前11项和S11=a1+a2+…+a11
=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6
=11a6=132.故选D.
6.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2= ,Sn= .
答案:1 n2+n
7.若一个等差数列前3项和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有 项.
答案:13
解析:∵
∴3(a1+an)=180,a1+an=60,Sn==390.∴n=13.
8.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则= .
答案:9
解析:,又∵a5=5a3,∴=9.
9.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,a3+a5=38.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
解:(1)设数列{an}的公差为d,
则由已知得解得d=-2.
∴通项公式an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2,
由已知a3n-2=-6n+31.
∴数列{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.
∴Sn==-3n2+28n.
10.一个水池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么24 min可注满水池.如果开始时全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多长时间?
解:设共有n个水龙头,每个水龙头放水时间从小到大依次为x1,x2,…,xn.
由已知可知x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1,
∴数列{xn}成等差数列,
每个水龙头1min放水(这里不妨设水池的容积为1),
∴·(x1+x2+…+xn)=1,即Sn=24n.
∴=24n.∴x1+xn=48.
又∵xn=5x1,∴6x1=48.
∴x1=8(min),xn=40(min).
故最后关闭的水龙头放水40min.
一、等差数列前n项和公式及应用
1.在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1为( )
A.5或7 B.3或5 C.7或-1 D.3或-1
答案:D
解析:a1+(n-1)×2=11 ①,Sn=na1+×2=35 ②,由①②解得a1=3或a1=-1.
经检验,a1=3与a1=-1均符合题意,故选D.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于( )
A.18 B.36 C.54 D.72
答案:D
解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18.
∴S8==4(a1+a8)=4(a4+a5)=72.
3.(2015河北邯郸三校联考,2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于( )
A.160 B.180 C.200 D.220
答案:B
解析:∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20).
∴a1+a20=18.∴S20==180.故选B.
4.设Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和.若S9=3a8,则=( )
A.15 B.17 C.19 D.21
答案:A
解析:由S9=3a8,得(a1+a15),即9a5=,所以=15.
5.有一个凸n边形,各内角的度数成等差数列,公差是10°,最小角为100°,则边数n= .
答案:8
解析:n×100°+×10°=(n-2)×180°,解得n=8或n=9.又an=100°+(n-1)×10°<180°,∴n=8.
6.已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn.设Sk=2 550,求a和k的值.
解:设{an}的公差为d,由已知得,a1=a-1,a2=4,a3=2a.
又2a2=a1+a3,∴8=(a-1)+2a,∴a=3,
∴a1=2,d=a2-a1=2.
由Sk=ka1+d,得2k+×2=2550,
即k2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去),∴a=3,k=50.
二、由Sn求解数列的通项公式
7.设数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为 .
答案:an=
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1.
当n=1时,a1=S1=1+1=2不适合上式.
∴数列{an}的通项公式为an=
8.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-2,求数列{an}的通项公式.
解:当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1,而2×31-1=2≠1.
故数列{an}的通项公式为an=
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+2SnSn-1=0(n≥2).
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明:∵n≥2时,an=Sn-Sn-1,
又an+2SnSn-1=0,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.
∵Sn≠0,两边同除以SnSn-1,得
+2=0,即=2(n≥2),
∴数列是等差数列.
(2)解:∵a1=1,=1,
∴=1+(n-1)×2=2n-1,∴Sn=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
=-.
而-=2≠1,故{an}的通项公式an=
(建议用时:30分钟)
1.在等差数列{an}中,若a1-a4+a8-a12+a15=2,则S15等于( )
A.28 B.30 C.31 D.32
答案:B
解析:∵a1-a4+a8-a12+a15
=(a1+a15)-(a4+a12)+a8=a8=2.
∴S15==30.
2.在等差数列{an}中,公差d≠0,首项a1≠d.如果这个数列的前20项的和S20=10M,则M应是( )
A.a5+a15 B.a2+2a10
C.2a1+19d D.a20+d
答案:C
解析:∵S20=20a1+d=10(2a1+19d)=10M,
∴M=2a1+19d.
3.已知数列{an}为等差数列,其前n项的和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d=( )
A.1 B.2 C.3 D.
答案:B
解析:在等差数列中,S3==12,解得a1=2,所以解得d=2,选B.
4.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为( )
A.20 B.21 C.22 D.24
答案:A
解析:由数列前n项和公式可得=781,解得k=20.
5.(2015江西吉安联考,5)在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11等于( )
A.24 B.48 C.66 D.132
答案:D
解析:∵数列{an}为等差数列,设其公差为d,
∵a9=a12+6,
∴a1+8d=(a1+11d)+6,
∴a1+5d=12,即a6=12.
∴数列{an}的前11项和S11=a1+a2+…+a11
=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6
=11a6=132.故选D.
6.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2= ,Sn= .
答案:1 n2+n
7.若一个等差数列前3项和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有 项.
答案:13
解析:∵
∴3(a1+an)=180,a1+an=60,Sn==390.∴n=13.
8.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则= .
答案:9
解析:,又∵a5=5a3,∴=9.
9.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,a3+a5=38.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
解:(1)设数列{an}的公差为d,
则由已知得解得d=-2.
∴通项公式an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2,
由已知a3n-2=-6n+31.
∴数列{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.
∴Sn==-3n2+28n.
10.一个水池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么24 min可注满水池.如果开始时全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多长时间?
解:设共有n个水龙头,每个水龙头放水时间从小到大依次为x1,x2,…,xn.
由已知可知x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1,
∴数列{xn}成等差数列,
每个水龙头1min放水(这里不妨设水池的容积为1),
∴·(x1+x2+…+xn)=1,即Sn=24n.
∴=24n.∴x1+xn=48.
又∵xn=5x1,∴6x1=48.
∴x1=8(min),xn=40(min).
故最后关闭的水龙头放水40min.
