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课时跟踪检测(十三) 渐开线与摆线
一、选择题
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．2π
C．12π D．14π
解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为(φ为参数)，
把y＝0代入，得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．
2．给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④
解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
3．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1 B. C. D.
解析：选C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，∴|AB|＝ ＝.
4.如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π B．4π C．5π D．6π
解析：选C 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
二、填空题
5．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
答案：(φ为参数)
6．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
答案：2
7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________ .
解析：圆的摆线的参数方程为(φ为参数)，令r(1－cos φ)＝0，得φ＝2kπ(k∈Z)，代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)，
又∵过(1,0)，∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1(k∈Z)，∴r＝(k∈Z)．
又∵r＞0，∴k∈N*.
答案：(φ为参数，k∈N*)
三、解答题
8．有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．
解：设轮子中心为O，则OM＝a.点M的轨迹即是以O为圆心，a为半径的基圆的摆线．
由参数方程知点M的轨迹方程为(φ为参数)．
9．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．
10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
解：令y＝0，可得a(1－cos φ)＝0，
由于a＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝a(φ－sin φ)，得x＝a(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)．
又因为x＝2，所以a(2kπ－sin 2kπ)＝2(k∈Z)，
即得a＝(k∈Z)．又由实际可知a＞0，所以a＝(k∈N*)．
易知，当k＝1时，a取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)．
圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．
一、选择题
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．2π
C．12π D．14π
解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为(φ为参数)，
把y＝0代入，得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．
2．给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④
解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
3．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1 B. C. D.
解析：选C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，∴|AB|＝ ＝.
4.如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π B．4π C．5π D．6π
解析：选C 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
二、填空题
5．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
答案：(φ为参数)
6．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
答案：2
7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________ .
解析：圆的摆线的参数方程为(φ为参数)，令r(1－cos φ)＝0，得φ＝2kπ(k∈Z)，代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)，
又∵过(1,0)，∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1(k∈Z)，∴r＝(k∈Z)．
又∵r＞0，∴k∈N*.
答案：(φ为参数，k∈N*)
三、解答题
8．有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．
解：设轮子中心为O，则OM＝a.点M的轨迹即是以O为圆心，a为半径的基圆的摆线．
由参数方程知点M的轨迹方程为(φ为参数)．
9．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．
10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
解：令y＝0，可得a(1－cos φ)＝0，
由于a＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝a(φ－sin φ)，得x＝a(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)．
又因为x＝2，所以a(2kπ－sin 2kπ)＝2(k∈Z)，
即得a＝(k∈Z)．又由实际可知a＞0，所以a＝(k∈N*)．
易知，当k＝1时，a取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)．
圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．
