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第26课时 平面向量的应用举例
课时目标
1.体会向量是解决处理几何、物理问题的工具．
2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．
识记强化
1．向量方法解决几何问题的“三步曲”．
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的减法与加法类似，可以用向量的方法解决．
课时作业
一、选择题
1．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C三点共线
B.⊥
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
答案：D
解析：∵＝(－2,0)，＝(2,4)，∴·＝－4<0，∴∠C是钝角．
2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
答案：D
解析：由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
3．在四边形ABCD中，若＝－，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
答案：D
解析：由＝－知四边形ABCD是平行四边形，又·＝0，∴⊥，∴此四边形为菱形．
4．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
答案：B
解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝2(m/s)．
5．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v2－v1
C．v1＋v2 D．|v1|－|v2|
答案：C
解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v1＋v2，故选C.
6．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：
①＋＋＝0；
②·＝·＝0；
③(＋)·＝(＋)·＝0.
则点O依次为△ABC的( )
A．内心、重心、垂心
B．重心、内心、垂心
C．重心、内心、外心
D．外心、垂心、重心
答案：C
解析：①由于＝－(＋)＝－2，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O为△ABC的重心；
②向量，分别表示在AC和AB上取单位向量和，它们的差是向量，当·＝0，即OA⊥B′C′时，则点O在∠BAC的平分线上，同理由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心；
③＋是以，为边的平行四边形的一条对角线，而是该四边形的另一条对角线，·(＋)＝0表示这个平行四边形是菱形，即||＝||，同理有||＝||，于是O为△ABC的外心．
二、填空题
7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的投影为________．
答案：
解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝.
∴va在vb上的投影为|va|cosθ＝5×＝.
8．已知点A(0,0)，B(，0)，C(0,1)．设AD⊥BC于D，那么有＝λ，其中λ＝________.
答案：
解析：如图||＝，||＝1，||＝2，由于AD⊥BC，且＝λ，所以C、D、B三点共线，所以＝，即λ＝.
9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
答案：30
解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.
三、解答题
10.
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．
证明：依题意，得＝，＝＝
(＋)．
∵＝－，∴＝－.
∵＝－＝－，
∴＝3，即∥.
又，有公共点M，∴M，N，C三点共线．
11．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i, j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：
(1)F1，F2分别对该质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．
解：＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.
(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·
＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28；
F2做的功W2＝F2·s＝F2·
＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23.
(2)F＝F1＋F2＝5i－4j，
所以F做的功W＝F·s＝F·
＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.
能力提升
12．如图，作用于同一点O的三个力、、处于平衡状态，已知||＝1，||＝2，与的夹角为，则的大小________．
答案：
解析：∵、、三个力处于平衡状态，
∴＋＋＝0即＝－(＋)，
∴||＝|＋|＝
＝
＝＝.
13．已知A(2,1)、B(3,2)、D(－1,4)．
(1)求证：⊥；
(2)若四边形ABCD为矩形，试确定点C的坐标，并求该矩形两条对角线所成的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥.
(2)∵四边形ABCD为矩形，且AB⊥AD，
∴＝.
设C(x，y)，则(－3,3)＝(x－3，y－2)，
，∴
∴点C(0,5)．
又∵＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝(－2)×(－4)＋4×2＝16.
而||＝＝2 ，||＝＝2 ，
设与的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝
∴该矩形两条对角线所成锐角的余弦值为.
课时目标
1.体会向量是解决处理几何、物理问题的工具．
2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．
识记强化
1．向量方法解决几何问题的“三步曲”．
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的减法与加法类似，可以用向量的方法解决．
课时作业
一、选择题
1．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C三点共线
B.⊥
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
答案：D
解析：∵＝(－2,0)，＝(2,4)，∴·＝－4<0，∴∠C是钝角．
2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
答案：D
解析：由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
3．在四边形ABCD中，若＝－，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
答案：D
解析：由＝－知四边形ABCD是平行四边形，又·＝0，∴⊥，∴此四边形为菱形．
4．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
答案：B
解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝2(m/s)．
5．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v2－v1
C．v1＋v2 D．|v1|－|v2|
答案：C
解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v1＋v2，故选C.
6．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：
①＋＋＝0；
②·＝·＝0；
③(＋)·＝(＋)·＝0.
则点O依次为△ABC的( )
A．内心、重心、垂心
B．重心、内心、垂心
C．重心、内心、外心
D．外心、垂心、重心
答案：C
解析：①由于＝－(＋)＝－2，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O为△ABC的重心；
②向量，分别表示在AC和AB上取单位向量和，它们的差是向量，当·＝0，即OA⊥B′C′时，则点O在∠BAC的平分线上，同理由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心；
③＋是以，为边的平行四边形的一条对角线，而是该四边形的另一条对角线，·(＋)＝0表示这个平行四边形是菱形，即||＝||，同理有||＝||，于是O为△ABC的外心．
二、填空题
7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的投影为________．
答案：
解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝.
∴va在vb上的投影为|va|cosθ＝5×＝.
8．已知点A(0,0)，B(，0)，C(0,1)．设AD⊥BC于D，那么有＝λ，其中λ＝________.
答案：
解析：如图||＝，||＝1，||＝2，由于AD⊥BC，且＝λ，所以C、D、B三点共线，所以＝，即λ＝.
9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
答案：30
解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.
三、解答题
10.
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．
证明：依题意，得＝，＝＝
(＋)．
∵＝－，∴＝－.
∵＝－＝－，
∴＝3，即∥.
又，有公共点M，∴M，N，C三点共线．
11．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i, j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：
(1)F1，F2分别对该质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．
解：＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.
(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·
＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28；
F2做的功W2＝F2·s＝F2·
＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23.
(2)F＝F1＋F2＝5i－4j，
所以F做的功W＝F·s＝F·
＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.
能力提升
12．如图，作用于同一点O的三个力、、处于平衡状态，已知||＝1，||＝2，与的夹角为，则的大小________．
答案：
解析：∵、、三个力处于平衡状态，
∴＋＋＝0即＝－(＋)，
∴||＝|＋|＝
＝
＝＝.
13．已知A(2,1)、B(3,2)、D(－1,4)．
(1)求证：⊥；
(2)若四边形ABCD为矩形，试确定点C的坐标，并求该矩形两条对角线所成的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥.
(2)∵四边形ABCD为矩形，且AB⊥AD，
∴＝.
设C(x，y)，则(－3,3)＝(x－3，y－2)，
，∴
∴点C(0,5)．
又∵＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝(－2)×(－4)＋4×2＝16.
而||＝＝2 ，||＝＝2 ，
设与的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝
∴该矩形两条对角线所成锐角的余弦值为.
