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第二章　章末检测(A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是(　　)
A. B. C．2 D．4
2．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4．P是长轴在x轴上的椭圆＋＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是(　　)
A．1 B．a2 C．b2 D．c2
5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
6．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)
A．(，2) B．(，)
C．(2,5) D．(2，)
7．过点M(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则这样的直线的条数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
8．设F为抛物线y2＝4x的焦距，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则|＋||＋||等于(　　)
A．9 B．6 C．4 D．3
9．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
10．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点(　　)
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
11．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是(　　)
A.（，） B．(1,1)
C. （，） D．(2,4)
12．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是(　　)
A.（，π） B.（ ，π）
C.（ ，π） D.（ ，）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．
14．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．
15．设椭圆＋＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点（，0）分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．
16．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中所有正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．
18．(12分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
19.(12分)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．
20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆＋＝1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆的方程；
(2)△PF1F2的面积．
21.(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
22．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．
(1)写出C的方程；
（2）若⊥，求k的值．
第二章　圆锥曲线与方程(A) 答案
1．A　[由题意可得2＝2×2，解得m＝.]
2．B　[∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.
又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆方程为＋＝1.]
3．B　[抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，
故双曲线中c＝6. ①
由双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，知＝， ②
且c2＝a2＋b2.③
由①②③解得a2＝9，b2＝27.
故双曲线的方程为－＝1，故选B.]
4．D　[由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a－c，a＋c]，
|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
|PF1|·|PF2|＝|PF1|(2a－|PF1|)
＝－|PF1|2＋2a|PF1|＝－(|PF1|－a)2＋a2
≥－c2＋a2＝b2，
所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2－b2＝c2.]
5．B　[由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a＝2，
且双曲线的标准方程为－＝1.
根据题意2a＋2b＝·2c，即a＋b＝c.
又a2＋b2＝c2，且a＝2，
∴解上述两个方程，得b2＝4.
∴符合题意的双曲线方程为－＝1.]
6．B　[∵双曲线方程为－＝1，
∴c＝ .
∴e＝＝ ＝ .
又∵a>1，∴0<<1.∴1<＋1<2.
∴1<2<4.∴7．B
8．B　[设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)，
∵ ＋＋＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.
又由抛物线定义知||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.]
9．C　[
如图所示，要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2＝＝≥4，∴e≥2.]
10．B　[根据抛物线的定义可得．]
11．B　[设与直线2x－y＝4平行且与抛物线相切的直线为2x－y＋c＝0 (c≠－4)，

2x－y＋c＝0
由
y＝x2
得x2－2x－c＝0. ①
由Δ＝4＋4c＝0得c＝－1，代入①式得x＝1.
∴y＝1，∴所求点的坐标为(1,1)．]
12．D　[椭圆方程化为＋＝1.
∵椭圆焦点在y轴上，∴－>>0.
又∵0≤α<2π，∴<α<.]
13.
解析　由已知得∠AF1F2＝30°，故cos 30°＝，从而e＝.
14．2x－y－15＝0
解析　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
所以＝＝2.
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0.
即2x－y－15＝0.
15.
解析　由题意，得＝3⇒＋c＝3c－b⇒b＝c，
因此e＝＝ ＝ ＝ ＝.
16．③④
解析　①错误，当k＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k＝时，方程表示圆；验证可得③④正确．
17．解　设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．
∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
∵M是线段PP′的中点，
x0＝x， x0＝x，
∴ y0＝， 把 y0＝，
代入＋＝1，得＋＝1，即x2＋y2＝36.
∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.
18．解　设双曲线方程为－＝1.
由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，
∴对于双曲线C：c＝2.
又y＝x为双曲线C的一条渐近线，
∴＝，解得a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
19．解　将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得：k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
由，得k>－1且k≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得：x1＋x2＝＝4⇒k2＝k＋2⇒k2－k－2＝0.
解得：k＝2或k＝－1(舍去)
由弦长公式得：
|AB|＝·＝×＝2.
20．解　(1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，
则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，
所以kPF1·kPF2＝－1，即·＝－1，
解得c＝5，所以设椭圆方程为＋＝1.
因为点P(3,4)在椭圆上，所以＋＝1.
解得a2＝45或a2＝5.
又因为a>c，所以a2＝5舍去．
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6， ①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100， ②
①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.
21．解　焦点F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥Ox，则|AB|＝2p所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0.
由消去x，
整理得ky2－2py－kp2＝0.
由韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
∴|AB|＝
＝
＝ ·
＝2p(1＋)＝p.
解得k＝±2.∴AB所在的直线方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．
22．解　(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)、(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0恒成立．
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
⊥，即x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±.