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第一章　章末检测(A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列语句中是命题的是(　　)
A．梯形是四边形 B．作直线AB
C．x是整数 D．今天会下雪吗？
2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
4．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若p：a∈R，|a|<1，q：x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：|x|<1是xA．“p或q”为真命题
B．“p且q”为假命题
C．“綈p且q”为真命题
D．“綈p或綈q”为真命题
10．“a和b都不是偶数”的否定形式是(　　)
A．a和b至少有一个是偶数
B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数
D．a和b都是偶数
11．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是(　　)
A．(－2,2) B．(－2,2]
C．(－∞，2] D．(－∞，－2)
12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
11．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的__________条件．
12．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
13．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为
______________________________________________________________________.
14．下列四个命题中
①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；
②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件；
③函数y＝的最小值为2.
其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)正方形是矩形又是菱形；
(2)同弧所对的圆周角不相等；
(3)方程x2－x＋1＝0有两个实根．
18．(12分)判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
19．(12分)已知p：≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
20．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
21.(12分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
22．(12分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．
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第一章　常用逻辑用语(A)
答案
1．A
2．A　[因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b都小于1，则a＋b<2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.]
3．C
4．A　[“x∈M，或x∈P”不能推出“x∈M∩P”，反之可以．]
5．C　[①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④中有“或”．]
6．B　[当A＝170°时，sin 170°＝sin 10°<，所以“过不去”；但是在△ABC中，sin A>⇒30°30°，即“回得来”．]
7．A　[a∈R，|a|<1⇒a－2<0，充分成立，反之不成立．]
8．A　[綈p：|x＋1|≤2，－3≤x≤1，綈q：5x－6≤x2，
即x2－5x＋6≥0，解得x≥3，或x≤2.
∴綈p⇒綈q，但綈q綈p，故綈p是綈q的充分不必要条件．]
9．A　[命题p：当a>1时，Δ＝4－4a<0，即x2＋2x＋a>0恒成立，故函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，即命题p是真命题；命题q：当a>1时，由|x|<1，得－110．A　[对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．]
11．B　[注意二次项系数为零也可以．]
12．D　[∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．]
13．必要不充分
解析　q⇒p，pq.
14．[－3,0]
解析　ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，由得－3≤a<0；
∴－3≤a≤0.
15．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形
解析　本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
16．①②③
解析　①“k＝1”可以推出“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”，但是函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π，
即y＝cos 2kx，T＝＝π，k＝±1.
②“a＝3”不能推出“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”，反之垂直推出a＝；
③函数y＝＝＝＋，令＝t，t≥，
ymin＝＋＝.
17．解　(1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．
(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．
(3)如果一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．
18．解　方法一　(直接法)
逆否命题：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)
＝4a－7.
∵a<1，∴4a－7<0.
即二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．
方法二　(先判断原命题的真假)
∵a、x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥，
∵a≥>1，∴原命题为真．
又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．
方法三　(利用集合的包含关系求解)
命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集．
命题q：a≥1.
∴p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝，
q：B＝{a|a≥1}．
∵A⊆B，∴“若p，则q”为真，
∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．
即原命题的逆否命题为真．
19．解　綈p：>2，解得x<－2，或x>10，
A＝{x|x<－2，或x>10}．
綈q：x2－2x＋1－m2>0，
解得x<1－m，或x>1＋m，
B＝{x|x<1－m，或x>1＋m}．
∵綈p是綈q的必要非充分条件，∴BA，
即且等号不能同时成立，⇒m≥9，
∴m≥9.
20．解　令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根⇔
Δ＝2k－12－4k2≥0
－
f1>0)
即k<－2.
所以其充要条件为k<－2.
21．解　对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或⇔0≤a<4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤；如果p真，且q假，有0≤a<4，且a>，
∴综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
22．解　假设三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，
x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0都没有实数根，则
，
即得－∴所求实数a的范围是a≤－或a≥－1.