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阶段质量检测（二）
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是(　　)
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③　　　　　　 B．②①③
C．②③① D．③②①
解析：选B　按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.
2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①a·b＝b·a；
②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；
④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.
则正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B　平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．
3．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程 x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
解析：选A　“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”(　　)
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：选C　正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．
5．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)
A．2n B．n2
C．22(n－1) D．nn
解析：选D　将四个答案分别用n＝1,2,3检验即可，故选D.
6．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是(　　)
A．指数函数 B．对数函数
C．一次函数 D．余弦函数
解析：选A　当函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)时，对任意的x>0，y>0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B、C、D选项均不满足要求．
7．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为(　　)
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A　观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：选C　归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选C　记an＋bn＝f(n)，
则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；
f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；
f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现
f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，
则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；
f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；
f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；
f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；
f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 015等于(　　)
A. B.－1
C．2 D．3
解析：选B　∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)，
∴a2 015＝a2＋3×671＝a2＝－1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知 ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，…，若 ＝6 (a，b均为实数)，则a＝________，b＝________.
解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.
答案：6　35
12．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
13．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.
因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
答案：
14．观察下图：
1
2　3　4
3 4 5　6　7
4 5 6　7　8　9　10
……
则第________行的各数之和等于2 0152.
解析：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n－1项的等差数列，其各项和为
Sn＝(2n－1)n＋
＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2，
令(2n－1)2＝2 0152，得2n－1＝2 015，解得n＝1 008.
答案：1 008
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，{an}有如下性质：(m，n，p，q∈N*)
①通项an＝am＋(n－m)d；
②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．
解：在等比数列{bn}中，公比为λ(λ≠0)，前n项和为Sn′，{bn}有如下性质：(m，n，p，q∈N*)
①通项bn＝bm·λn－m；
②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq；
③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b；
④Sn′，S2n′－Sn′，S3n′－S2n′(Sn′≠0)构成等比数列．
16．(本小题满分12分)观察：
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.
由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：猜想：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)
＝＋＋[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]
＝1＋＋sin(2α＋30°)－
＝＋[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋sin(2α＋30°)
＝－＋sin(2α＋30°)
＝－sin(2α＋30°)＋sin(2α＋30°)＝，
即sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝.
17．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较 与 的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
解：(1) ＜ .证明如下：
要证 ＜ ，只需证＜.
∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.
∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2 ，
∴b2≤ac.
又∵a，b，c均不相等，
∴b2＜ac.
故所得大小关系正确．
(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos B＜0.
由余弦定理得，
cos B＝≥＞＞0，
这与cos B＜0矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以＞＞0，＞＞0，则＋＞＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
18．(本小题满分14分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？
(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．
(2)若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．
解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．
(2)由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为
an＝
其前n项和公式
Sn＝
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了三段论，但大前提使用错误
D．使用了三段论，但小前提使用错误
解析：选D　应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
2．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是(　　)
A．增函数的定义
B．函数y＝x3满足增函数的定义
C．若x1D．若x1>x2，则f(x1)>f(x2)
解析：选B　三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.
3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)
A．由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{an}的前n项和Sn＝n2
B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数
C．由半径为r的圆的面积S＝πr2，推断单位圆的面积S＝π
D．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n
解析：选A　选项A：为归纳推理，且∵an＝2n－1，∴{an}是等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，则Sn＝n＋×2＝n2，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C：为类比推理；选项D：为归纳推理，当n＝7时，(n＋1)2＝82＝64<2n＝27＝128，故结论错误．故选A.
4．命题“关于x的方程f(x)＝0有唯一解”的结论的否定是(　　)
A．无解　　　　 　　　 B．两解
C．至少有两解 D．无解或至少有两解
答案：D
5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为(　　)
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
解析：选B　先观察已知等式的左边，可得第n(n∈N*)个等式的左边应为9(n－1)＋n；再观察已知等式的右边结果1,11,21,31，…，知它们构成以1为首项，10为公差的等差数列，所以第n(n∈N*)个等式的右边应为1＋10(n－1)＝10n－9，故选B.
6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆＋＝1(a>b>0)的面积最有可能是(　　)
A．πa2 B．πb2
C．πab D．π(ab)2
解析：选C　圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即a＝b时的情形，因为S圆＝πr2，可以类比出椭圆的面积最有可能是S＝πab.
7．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P解析：选C　P2＝(＋)2＝2a＋7＋2，
Q2＝(＋)2＝2a＋7＋2，
∴P20，Q>0，∴P8．已知a，b∈R，若a≠b，且a＋b＝2，则(　　)
A．1C．ab<<1 D.解析：选B　∵b＝2－a，
∴ab＝a(2－a)＝－(a2－2a)＝－(a－1)2＋1<1，
＝＝＝a2－2a＋2
＝(a－1)2＋1>1，故选B.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出Sn的表达式为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，
∴a2＝，S2＝；
又1＋＋a3＝32a3，
∴a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，
得a4＝，S4＝.
由S1＝，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想Sn＝.
10．记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：
S1＝n2＋n，S2＝n3＋n2＋n，S3＝n4＋n3＋n2，S4＝n5＋n4＋n3－n，
S5＝n6＋n5＋n4＋An2，…
由此可以推测A＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A　根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以＋＋＋A＝1，解得A＝－.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________________________________________________________________________．
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
12．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
解析：因为函数y＝a1－x的图象所过的定点为A(1，1)，
且点A在直线mx＋ny－1＝0上，所以m＋n＝1.
又因为mn>0，所以必有m>0，n>0，
于是＋＝(m＋n)·
＝2＋＋≥2＋2 ＝4.
答案：4
13．给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则
(1)a54＝________；(2)anm＝________.
解析：由前4行的特点，归纳可得：
若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，
∴a54＝(4,5－4＋1)＝(4,2)，
anm＝(m，n－m＋1)．
答案：(1)(4,2)　(2)(m，n－m＋1)
14．请阅读下面材料：
若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，求证：a1＋a2≤.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
根据上述证明方法，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1时，你能得到的结论是________．
解析：类比给出的材料，构造函数
f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，
由对一切实数x，恒有f(x)≥0，
所以Δ≤0，即可得到结论．
故答案为a1＋a2＋…＋an≤.
答案：a1＋a2＋…＋an≤
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)·(x2＋y2－1)－18≤0.
(1)求x2＋y2的取值范围；
(2)求证：xy≤2.
解：(1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0得
(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0.
因为x2＋y2＋5>0，所以有0≤x2＋y2≤4，
即x2＋y2的取值范围为[0,4]．
(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，
由基本不等式得xy≤≤＝2，
所以xy≤2.
16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．
结论是正确的．证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，
则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.
又∵α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．结论是错误的，这两个平面也可能相交．
17．(本小题满分12分)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝，sin2 5°＋sin2 65°＋sin2 125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．
解：一般形式为：
sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明：左边＝＋＋
＝－[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝－(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)
＝－cos 2α－cos 2α－sin 2α－cos 2α＋sin 2α＝＝右边．
将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝也正确
18．(本小题满分14分)如右图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．
求证：直线AC经过原点O.
证明：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，
代入抛物线方程，可得y2－2pmy－p2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，
所以y1y2＝－p2.
因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，
所以点C的坐标是，
故直线CO的斜率为k＝＝＝，
即k也是直线OA的斜率，
所以直线AC经过原点O.