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章末综合测评(一)　常用逻辑用语
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是(　　)
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】　命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．
【答案】　D
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】　把全称量词改为存在量词并把结论否定．
【答案】　D
3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．
【答案】　A
4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．
【答案】　A
5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于(　　)
A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立
B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立
C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立
D．∀x∈R，f(x)≤0成立
【解析】　“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.
【答案】　A
6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　) 【导学号：18490031】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.
【答案】　A
7．命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝(　　)
A．∅ B．{c|c<－1}
C．{c|c≥－1} D．R
【解析】　命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}．于是A∩B＝∅，故选A.
【答案】　A
8．对∀x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是(　　)
A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0
C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0
【解析】　由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒成立；当k≠0时，有即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0.
【答案】　C
9．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0＜0.下列选项中为真命题的是(　　)
A．綈p B．綈p∨q
C．綈q∧p D．q
【解析】　很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p∨q为假命题，綈q∧p为真命题，故选C.
【答案】　C
10．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
【答案】　D
11．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1
【解析】　因为全称命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x0∈M，綈p(x)，故綈p：∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.
【答案】　B
12．已知p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使p∧q为真命题的点P的坐标是(　　)
A．(0，－3) B．(1，2)
C．(1，－1) D．(－1，1)
【解析】　因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题．所以点P为直线y＝2x－3与直线y＝－3x＋2的交点．解方程组得即点P的坐标为(1，－1)．
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
【解析】　p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
【答案】　p∨q与綈p
14．(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．
【解析】　命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．
【答案】　末位数字是1或3的整数能被8整除　末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
15．已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______．
【解析】　依题意，∴3≤m<8.
【答案】　[3，8)
16．给出以下判断：
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；
②命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，使x>x”；
③“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数”的充要条件；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．
其中正确命题的序号是________. 【导学号：18490032】
【解析】　①②④是假命题，③是真命题．
【答案】　③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有的矩形都是正方形；
(2)r：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使x＋3＝0.
【解】　(1)綈q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．
(2)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．
(3)綈s：∀x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－时，x3＋3＝0.
18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0【解】　(1)因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2所以{x|x>－2或x<3}{x|－2而{x|－2－2或x<3}．
所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为a，b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根⇔⇔⇔⇔.
所以p是q的充要条件．
19．(本小题满分12分)已知命题p：不等式2x－x2如果“綈p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围. 【导学号：18490033】
【解】　2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以p为真时，
m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，
所以q为真时，m≤－1或m≥3.
因为“綈p”与“p∧q”同时为假命题，
所以p为真命题，q为假命题，所以得
即120．(本小题满分12分)已知两个命题p：sin x＋cos x＞m，q：x2＋mx＋1＞0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
【解】　当命题p是真命题时，
由于x∈R，则sin x＋cos x＝sin≥－，
所以有m＜－.
当命题q是真命题时，
由于x∈R，x2＋mx＋1＞0，
则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．
考虑到函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x∈R，x2＋mx＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p为假，q为真，
此时有
解得－≤m＜2，
所以实数m的取值范围是[－，2)．
21．(本小题满分12分)已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】　(1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为p是q的充分不必要条件，所以是不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0的解集的真子集．
法一　因为方程t2－(a＋3)t＋a＋2＝0的两根为1和a＋2，
所以只需a＋2>，解得a>.
即实数a的取值范围为.
法二　令f(t)＝t2－(a＋3)t＋a＋2，因为f(1)＝0，
所以只需f<0，解得a>.
即实数a的取值范围为.
22．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
【证明】　充分性：∵∠A＝90°，
∴a2＝b2＋c2.
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
∴该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，
即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
∴该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现，x1＝x3，
∴方程有公共根．
必要性：设x是方程的公共根，
则
由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．
代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.
∴∠A＝90°.
∴结论成立．