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  • 资源类别:高二试卷
  • 所属教版:高二下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:161k
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  • 整理时间:2021-03-19
  • 1.4 生活中的优化问题举例
    [学习目标]
    1.了解导数在解决实际问题中的作用.
    2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
    [知识链接]
     设两正数之和为常数c,能否借助导数求两数之积的最大值,并由此证明不等式≥(a,b>0)?
    答 设一个正数为x,则另一个正数为c-x,两数之积为
    f(x)=x(c-x)=cx-x2(0<x<c),f′(x)=c-2x.
    令f′(x)=0,即c-2x=0,得x=.
    故当x=时,f(x)有最大值f=,即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的.
    若设这两个正数分别为a,b,则有≥ab(a>0,b>0),即≥(a,b>0),当且仅当a=b时等号成立.
    [预习导引]
    1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.
    2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.
    3.解决优化问题的基本思路是

    上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
    要点一 用料最省问题
    例1 有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40千米的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?
    解 
    如图,由题意知,只有点C位于线段AD上某一适当位置时,才能使总费用最省,设点C距点D为x km,则BC==,又设总的水管费用为y元,依题意有y=3a(50-x)+5a(0∴y′=-3a+.令y′=0,解得x=30,(x=-30舍去)
    在(0,50)上,y只有一个极值点,根据问题的实际意义,函数在x=30处取得最小值,此时AC=50-x=20 (km).
    ∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.
    规律方法 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象,正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.
    跟踪演练1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小?
    解 设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元,那么由题设的比例关系得p=k·v3,其中k为比例系数(k≠0),它可以由v=10,p=6求得,即k==0.006,于是有p=0.006v3.
    又设当船的速度为每小时v海里时,航行1海里所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是0.006v3+96(元),而航行1海里所需时间为小时,所以,航行1海里的总费用为:
    q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
    q′=0.012v-=(v3-8 000),
    令q′=0,解得v=20.∵当v<20时,q′<0;
    当v>20时,q′>0,
    ∴当v=20时,q取得最小值,
    即速度为20海里/时时,航行1海里所需费用总和最小.
    要点二 面积、容积的最值问题
    例2 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
    解 设广告的高和宽分别为x cm,y cm,
    则每栏的高和宽分别为x-20 cm, cm,
    其中x>20,y>25.
    两栏面积之和为2(x-20)·=18 000,
    由此得y=+25.
    广告的面积S=xy=x=+25x,
    ∴S′=+25=+25.
    令S′>0得x>140,令S′<0得20∴函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减,∴S(x)的最小值为S(140).
    当x=140时,y=175.即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500,故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小.
    规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.
    (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
    ①找关系:分析实际问题中各量之间的关系;②列模型:列出实际问题的数学模型;③写关系:写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x);④求导:求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;⑤比较:比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;⑥结论:根据比较值写出答案.
    跟踪演练2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
    解 
    如图,设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积
    S=2πRh+2πR2,
    由V=πR2h,得h=,
    则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2,
    令S′(R)=-+4πR=0,解得R=,
    从而h====2 ,即h=2R.
    因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值.
    所以,当罐的高与底面直径相等时,所用材料最省.
    要点三 成本最省,利润最大问题
    例3 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v千米/时的平方成正比,比例系数为b(b>0);固定部分为a元.
    (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
    (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
    解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为,全程运输成本为
    y=a·+bv2·=s,
    ∴所求函数及其定义域为y=s,v∈(0,c]
    (2)由题意s、a、b、v均为正数.
    y′=s=0得v=.但v∈(0,c].
    ①若≤c,则当v=时,全程运输成本y最小;
    ②若>c,则v∈(0,c],
    此时y′<0,即y在(0,c]上为减函数.
    所以当v=c时,y最小.
    综上可知,为使全程运输成本y最小,
    当≤c时,行驶速度v=;
    当>c时,行驶速度v=c.
    规律方法 正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是解题的主要思路.另外需注意:
    ①合理选择变量,正确给出函数关系式.
    ②与实际问题相联系.
    ③必要时注意分类讨论思想的应用.
    跟踪演练3 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25-q.求产量q为何值时,利润L最大?
    解 收入R=q·p=q=25q-q2,
    利润L=R-C=-(100+4q)
    =-q2+21q-100(0L′=-q+21
    令L′=0,即-q+21=0,求得唯一的极值点q=84.
    所以产量为84时,利润L最大.
    1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是(  )
    A.8 B.
    C.-1 D.-8
    答案 C
    解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.
    2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为(  )
    A. B.
    C. D.2
    答案 C
    解析 设底面边长为x,则表面积S=x2+V(x>0).∴S′=(x3-4V).令S′=0,得x=.
    3.在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?
    解 设箱底边长为x cm,则箱高h= cm,箱子容积V(x)=x2h=(0<x<60).
    V′(x)=60x-x2令V′(x)=60x-x2=0,
    解得x=0(舍去)或x=40,并求得V(40)=16 000.
    由题意知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16 000是最大值.
    答 当x=40 cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000 cm3.
    4.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0解 当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
    依题意得h(x)=×=x2+-(0h′(x)=-=(0令h′(x)=0,得x=80.
    因为x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
    x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数,
    所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升).
    因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它是最小值.
    答 汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
    1.解有关函数最大值、最小值的实际问题,在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上,列出合乎题意的函数关系式,并确定函数的定义域.注意所求得的结果一定符合问题的实际意义.
    2.利用导数解决生活中的优化问题时,有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)=0,如果函数在该点取得极大(小)值,极值就是函数的最大(小)值,因此在求有关实际问题的最值时,一般不考虑端点.
    一、基础达标
    1.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为(  )
    A.4 B.6
    C.4.5 D.8
    答案 A
    解析 设底面边长为x,高为h,
    则V(x)=x2·h=256,∴h=,
    ∴S(x)=x2+4xh=x2+4x·=x2+,
    ∴S′(x)=2x-.
    令S′(x)=0,解得x=8,∴h==4.
    2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x∈(0,0.048 6),若使银行获得最大收益,则x的取值为(  )
    A.0.016 2 B.0.032 4
    C.0.024 3 D.0.048 6
    答案 B
    解析 依题意,得存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0.048 6kx2,其中x∈(0,0.048 6).
    所以银行的收益是y=0.048 6kx2-kx3(0令y′=0,得x=0.032 4或x=0(舍去).
    当00;
    当0.032 4所以当x=0.032 4时,y取得最大值,即当存款利率为0.032 4时,银行获得最大收益.
    3.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为(  )
    A.3π B.3π
    C.3π D.3π
    答案 A
    解析 设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,∴h=,V=πr2h=πr2-2πr3.
    则V′=lπr-6πr2,令V′=0,得r=0或r=,而r>0,
    ∴r=是其唯一的极值点.
    ∴当r=时,V取得最大值,最大值为3π.
    4.用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为(  )
    A.120 000 cm3 B.128 000 cm3
    C.150 000 cm3 D.158 000 cm3
    答案 B
    解析 设水箱底边长为x cm,则水箱高h=60-(cm).
    水箱容积V=V(x)=x2h=60x2- (0V′(x)=120x-x2.令V′(x)=0,得x=0(舍去)或x=80.可判断得x=80 cm时,V取最大值为128 000 cm3.
    5.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为________.
    答案 3
    解析 设圆柱的底面半径为R,母线长为L,则V=πR2L=27π,∴L=,要使用料最省,只须使圆柱表面积最小,由题意,S表=πR2+2πRL=πR2+2π·,
    ∴S′(R)=2πR-=0,∴R=3,则当R=3时,S表最小.
    6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为________.
    答案 40
    解析 由题设知y′=x2-39x-40,
    令y′>0,解得x>40,或x<-1,
    故函数y=x3-x2-40x(x>0)在[40,+∞)上递增,在(0,40]上递减.∴当x=40时,y取得最小值.
    由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.
    7.学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2,上、下两边各空2 dm,左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?
    解 
    设版心的高为x dm,则版心的宽为
    dm,此时四周空白面积为
    S(x)=(x+4)-128
    =2x++8,x>0.
    求导数,得S′(x)=2-.
    令S′(x)=2-=0,解得x=16(x=-16舍去).
    于是宽为==8.当x∈(0,16)时,S′(x)<0;
    当x∈(16,+∞)时,S′(x)>0.
    因此,x=16是函数S(x)的极小值点,也是最小值点.
    所以,当版心高为16 dm,宽为8 dm时,能使四周空白面积最小.
    二、能力提升
    8.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(  )
    A. cm2 B.4 cm2
    C.3 cm2 D.2 cm2
    答案 D
    解析 设一个正三角形的边长为x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm,则这两个正三角形的面积之和为S=x2+(4-x)2=[(x-2)2+4]≥2(cm2),故选D.
    9.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是(  )
                      
    A.150 B.200
    C.250 D.300
    答案 D
    解析 由题意得,总利润
    P(x)=
    令P′(x)=0,得x=300,故选D.
    10.为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长为a米,高为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a=________,b=________时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计).
    答案 6 3
    解析 设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k(k>0)为比例系数.依题意,即所求的a,b值使y值最小,根据题设,4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)得b=.于是y===.(0令y′==0
    得a=6或a=-10(舍去).
    ∵只有一个极值点,∴此极值点即为最值点.
    当a=6时,b=3,即当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
    11.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.
    (1)试写出y关于x的函数关系式;
    (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
    解 (1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,
    即n=-1.
    所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x
    =256+(2+)x
    =+m+2m-256.
    (2)由(1)知,f′(x)=-+mx-=(x-512).
    令f′(x)=0,得x=512,所以x=64.
    当0当640,f(x)在区间(64,640)内为增函数,所以f(x)在x=64处取得最小值.
    此时n=-1=-1=9.
    故需新建9个桥墩才能使y最小.
    12.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20 km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100 km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?
    解 设速度为x km/h,甲、乙两城距离为a km.
    则总费用f(x)=(kx3+200)·=a(kx2+).
    由已知条件,得40=k·203,∴k=,
    ∴f(x)=a(0<x<100).
    令f′(x)==0,
    得x=10.
    当0当100.
    ∴当x=10时,f(x)有最小值,
    即速度为10 km/h时,总费用最少.
    三、探究与创新
    13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.
    (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
    (2)求该容器的建造费用最小时的r.
    解 (1)设容器的容积为V,由题意知V=πr2l+πr3,
    又V=,
    故l==-=.由于l≥2r,因此0所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr××3+4πr2c,
    因此y=4π(c-2)r2+,0(2)由(1)得y′=8π(c-2)r-=(r3-),0由于c>3,所以c-2>0.
    当r3-=0时,r=.令=m,则m>0,
    所以y′=(r-m)(r2+rm+m2).
    ①当0时,令y′=0,得r=m.
    当r∈(0,m)时,y′<0;当r∈(m,2]时,y′>0,
    所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.
    ②当m≥2,即3综上所述,当3时,建造费用最小时r=.
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