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空间向量与立体几何(复习一)
【学情分析】：
学生已经掌握了空间向量的基础知识，并能较好地用它证明立体几何中的平行、垂直问题，计算空间角、空间距离。但运用还不娴熟，计算易错的环节仍然出错。
【教学目标】：
（1）知识目标：运用空间向量证明立体几何中的平行、垂直问题，及计算空间角的计算。同时也试用传统的方法来解题。
（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练结合，以练为主。
（3）情感与能力目标：通过总结归纳，综合运用，让学生享受成功的喜悦，提高学习数学兴趣，提高计算能力和空间想象能力。
【教学重点】：。运用空间向量证明立体几何中的平行、垂直问题。
【教学难点】：计算空间角
【课前准备】：投影
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论
平 行
垂 直
与
与
与
左表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握
二、应用实例
平行、垂直、角的计算
例1．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF交于AD，点M,N分别在对角线BD,AE上，且.
求证：MN//平面CDE
证明：
=
又与不共线
根据共面向量定理，可知共面。
由于MN不在平面CDE中，
所以MN//平面CDE.
证法二：思路：在上取一点P，
使再用传统的方法
证明平面MNP∥平面CDE即可。
例2、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
解：以D为原点
建立如图所示的坐标系，
设存在点P（0，0，z），
=(-a,0,z)，
=(-a,a,0)，=(a,a,a)，
∵B1D⊥面PAC，∴，
∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC
方法二：引导学生用三垂线定理来解题。
例3 (2004年湖南高考理科试题)如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, ，点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.
根据题设条件，结合图形容易得到：
假设存在点F
。
又，
则必存在实数使得，把以上向量得坐标形式代入得
有
所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC。
本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，这种方法也更容易被学生掌握。
例4、如图，在正三棱柱中，
、分别是棱、的中点，
。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小。
解：如图建立空间直角坐标系，
则（Ⅰ）证明：
因为，，
，，
所以，
，
故，
因此，有；
（Ⅱ）设是平面的法向量，
因为，，所以由
可取；
同理，是平面的法向量。
设二面角的平面角为，则
。
本例中没有现成的三条互相垂直的直线，需动脑筋构造。二面角的大小与其两个面的法向量的夹角相等或互补，要根据实际情况来取舍。
（传统解法）作DM⊥AB于M，
则DM⊥平面ABB’A’。
作MN⊥AB’于N，连DN，
则∠MND即是二面角
的平面角。
先建立图空间坐标系再用向量解题
三、堂上练习
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60º
（1）证明CC1⊥BD
（2）当的值为多少时，能使
A1C⊥平面C1BD？并证明
分析：取为运算的基向量，则。
注意向量间的方向对夹角的影响
略证（2）设，菱形边长为a，则
，解得
当时，
四、小结
学生归纳，教师适当的补充、概括。
练习与测试：
（基础题）
1．下列各组向量中不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
答：D。
2．若A，B，C，则△ABC的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答：A。
3．已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为 。
答： 。提示：
设
则，而另可设
，
4．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
.
（Ⅰ）证明：因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.
（Ⅱ）解：因
（中等题）
5．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,
平面底面．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.
（Ⅰ）证明：不防设作，
则， ，
由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直. ∴平面.
（Ⅱ）解：设为中点，则，
由
因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小为
6．如图，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
为的中点.
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为、
、、、
、，
从而
设的夹角为，则
∴与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.