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课时跟踪检测(一) 平面直角坐标系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是(　　)
A．椭圆 B．比原来大的圆
C．比原来小的圆 D．双曲线
解析：选D　由伸缩变换的意义可得．
2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：选C　由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．
3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·| |＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选B　由题意，得＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，由||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，整理，得y2＝－8x.
4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设则μy＝sin λx，
即y＝sin λx.
比较y＝3sin 2x与y＝sin λx，则有＝3，λ＝2.
∴μ＝，λ＝2.∴
二、填空题
5．y＝cos x经过伸缩变换后，曲线方程变为________．
解析：由得代入y＝cos x，
得y′＝cosx′，即y′＝3cosx′.
答案：y＝3cos
6．把圆X2＋Y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋＝1，则坐标变换公式是________．
解析：设
则代入X2＋Y2＝16得 ＋＝1.
∴16λ2＝1,16μ2＝16.
∴故
答案：
7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________．
解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，
即有|AB|＋|AC|＝6＞4.
∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4.
∴a＝3，c＝2，b2＝5.
∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
三、解答题
8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解：x2－36y2－8x＋12＝0可化为2－9y2＝1.①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
比较①②，可得即
所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
则M点的坐标为.
由于|BC|＝，
|AM|＝ ＝，
故|AM|＝|BC|.
10．如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b解：设 A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，
则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)．②
由①②，得y2＝(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.
从而y＝b2，代入③，得
－＝1(x<－a，y<0)，此方程即为点M的轨迹方程．