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第二讲 参数方程
一、曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
A级　基础巩固
一、选择题
1．方程(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的(　　)
A．(1，1)　　　　　 B.
C. D.
解析：当θ＝时，x＝，y＝，所以点在方程(θ为参数)所表示的曲线上．
答案：C
2．下列方程可以作为x轴的参数方程的是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选项A表示x轴上以(1，0)为端点向右的射线；选项B表示的是y轴；选项C表示x轴上以(0，0)和(2，0)为端点的线段；只有选项D可以作为x轴的参数方程．
答案：D
3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为(　　)
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.所以(t为参数)
答案：A
4．参数方程(θ为参数)化为普通方程是(　　)
A．2x－y＋4＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3]
D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]
解析：由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.
故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]．
答案：D
5．参数方程(0≤θ<2π)表示的是(　　)
A．双曲线的一支，这支过点
B．抛物线的一部分，这部分过点
C．双曲线的一支，这支过点
D．抛物线的一部分，这部分过点
解析：因为x＝，故x∈[0，]，
又y＝(1＋sin θ)，故y∈[0，1]．
因为x2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x2－1，
代入y＝(1＋sin θ)中得y＝x2，
即x2＝2y，(0≤x≤，0≤y≤1)表示抛物线的一部分，
又2×＝1，故过点.
答案：B
二、填空题
6．若x＝cos θ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为______________．
解析：把x＝cos θ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1，
得cos2θ＋(y＋1)2＝1，
于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，即y＝－1±sin θ.
由于参数θ的任意性，
可取y＝－1＋sin θ，
因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为
(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
7．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________________．
解析：因为x＝2＋t，所以t＝x－2，代入y＝1＋t，
得y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
8．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)．点M(5，4)在该曲线上，则常数a＝________．
解析：因为点M(5，4)在曲线C上，
所以解得所以a的值为1.
答案：1
三、解答题
9．指出下列参数方程表示什么曲线：
(1)(θ为参数，0<θ<)；
(2)(t为参数，π≤t≤2π)；
(3)(θ为参数，0≤θ<2π)．
解：(1)由(θ为参数)得x2＋y2＝9.
又由0<θ<，得0所以所求方程为x2＋y2＝9(0这是一段圆弧(圆x2＋y2＝9位于第一象限的部分)．
(2)由(t为参数)得x2＋y2＝4.
由π≤t≤2π，得－2≤x≤2，－2≤y≤0.
所求圆方程为x2＋y2＝4(－2≤x≤2，－2≤y≤0)．
这是一段半圆弧(圆x2＋y2＝4位于y轴下方的部分，包括端点)．
(3)由参数方程(θ为参数)得(x－3)2＋(y－2)2＝152，由0≤θ<2π知这是一个整圆．
10．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
解：(1)把点M1的坐标(0，1)代入参数方程得
解得t＝0，所以点M1在曲线C上．
把点M2的坐标(5，4)代入参数方程得
即无解，所以点M2不在曲线C上．
(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以
解得t＝2，a＝9.所以a＝9.
B级　能力提升
1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点(　　)
A．(2，3) B．(1，5)
C. D．(2，0)
解析：先将P(2cos θ，3sin θ)化为方程为＋＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．
答案：D
2．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是__________________．
解析：曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2－2x－4y＝0，把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，
即ρ＝2cos θ＋4sin θ.
答案：ρ＝2cos θ＋4sin θ
3．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．
解：(1)将消去参数t，
化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0._科_网Z_X_X_K]
(2)由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.