本文由 s5635754 收集发布，转载请注明出处，如有问题请联系我们！高中数学选修4-1课时跟踪检测（五） 直角三角形的射影定理 Word版含解析

课时跟踪检测(五) 直角三角形的射影定理
一、选择题
1．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于点E，且AD＝3.2 cm，则DE等于(　　)
A．1.24 cm　　 B．1.26 cm C．1.28 cm D．1.3 cm
解析：选C　如图，∵∠A＝∠A，
∴Rt△ADE∽Rt△ABC，∴＝，
∴DE＝＝＝1.28 (cm)．
2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为(　　)
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1
解析：选C　设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.
3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为(　　)
A．7.2 cm2 B．6 cm2 C．12 cm2 D．24 cm2
解析：选B　长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，
由射影定理知斜边长为＝5(cm)，
∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6 cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的长是(　　)
A．6 cm B．3 cm C．18 cm D．3 cm
解析：选B　∵AD∶DB＝1∶2，
∴可设AD＝t，DB＝2t.
又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，
∴2t2＝36，∴t＝3(cm)，即AD＝3 cm.
二、填空题
5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．
解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．
答案：
6．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．
解析：因为四边形ABCD为矩形，
所以∠A＝∠D＝90°.
因为∠BEF＝90°，所以∠AEB＋∠DEF＝90°.
因为∠DEF＋∠DFE＝90°，所以∠AEB＝∠DFE.
所以△ABE∽△DEF.
答案：①③
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝________.
解析：由射影定理得，
AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴＝，即BC2＝.
又∵CD2＝AD·BD，
∴BD＝.
∴BC2＝＝＝64.
∴BC＝8.
答案：8
三、解答题
8．如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．
解：在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，
满足AB2＝AD2＋BD2，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°.
∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°.
故在Rt△BAC中，AD⊥BC，
由射影定理知AD2＝BD·CD，即62＝8·CD，
∴CD＝.
9.如图，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于点H.
求证：DF2＝GF·HF.
证明：在△AFH与△GFB中，
因为∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝ 90°，
所以∠H＝∠GBF.
因为∠AFH＝∠GFB＝90°，所以△AFH∽△GFB.
所以＝，
所以AF·BF＝GF·HF.
因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，所以DF2＝AF·BF，
所以DF2＝GF·HF.
10．已知直角三角形的周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
解：(1)如图，
设CD＝3x，BD＝5x，
则BC＝8x，
过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48.
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x.
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得x1＝0(舍去)，x2＝2.
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm.
(2)作CF⊥AB于点F，
∴AC2＝AF·AB.
∴AF＝＝＝(cm)；
同理，BF＝＝＝(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.