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学业分层测评（四）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
【解析】　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.
【答案】　B
2．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
【解析】　如图所示，
sin∠CAB＝＝，∴∠CAB＝30°.
【答案】　B
3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A、B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为(　　)
A．28海里/小时 B．14海里/小时
C．14海里/小时 D．20海里/小时
【解析】　如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，
在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，
AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784，
∴BC＝28海里，
∴v＝14海里/小时．
【答案】　B
4．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为(　　)
A．14米 B．15米
C．16米 D．17米
【解析】　如图，设DN＝x m，
则142＝102＋x2－2×10×
xcos 60°，
∴x2－10x－96＝0.
∴(x－16)(x＋6)＝0.
∴x＝16或x＝－6(舍)．
∴N与D之间的距离为16米．
【答案】　C
二、填空题
5．(2015·湖北高考)如图1­2­26，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m.
图1­2­26
【解析】　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×
＝100(m)．
【答案】　100
6．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为海里，则x的值为 ．
【解析】　x2＋9－2·x·3cos 30°＝()2，
解得x＝2或x＝.
【答案】　或2
7．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为 km. 【导学号：05920062】
【解析】　如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，
∠AMB＝45°，
在△AMB中，
由正弦定理得＝，
解得BM＝30(km)．
【答案】　30
8．一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P的南偏西75°、距塔68 n mile的M处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 n mile/h.
【解析】　如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.
在△PMN中，由正弦定理，得
＝，
∴MN＝68×＝34.
又由M到N所用时间为14－10＝4(h)，
∴船的航行速度v＝＝(n mile/h)．
【答案】　
三、解答题
9．平面内三个力F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态．已知F1、F2的大小分别为1 N、 N，F1与F2的夹角为45°，求F3的大小及F3与F1的夹角的大小．
【解】　如图，设F1与F2的合力为F，则F3＝－F.
∵∠BOC＝45°，
∴∠ABO＝135°.
在△OBA中，由余弦定理得
|F|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|cos 135°
＝4＋2.
∴|F|＝1＋，即|F3|＝＋1.
又由正弦定理得
sin∠BOA＝＝.
∴∠BOA＝30°.
∴∠BOD＝150°.
故F3的大小为(＋1)N，F1与F3的夹角为150°.
10. (2016·焦作模拟)如图1­2­27，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．
图1­2­27
【解】　设∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30，
BD＝42，∠BAD＝60°.
由正弦定理得＝，
sin α＝sin∠BAD＝sin 60°＝，
又∵AD∴0°<α<60°，cos α＝＝，
cos∠BDC＝cos(60°＋α)＝－.
在△BDC中，由余弦定理得
BC2＝DC2＋BD2－2DC·BDcos∠BDC＝402＋422－2×40×42cos(60°＋α)＝3 844，BC＝62 km，
即渔政船乙要航行62 km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．
[能力提升]
1．(2016·湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为(　　)
A．5米 B．10米
C．15米 D．20米
【解析】　如图，由题意得，AB⊥平面BCD，
∴AB⊥BC，AB⊥BD.
设塔高AB＝x，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以BC＝AB＝x，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴BD＝＝x，
在△BCD中，由余弦定理得
BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos 120°，
∴(x)2＝x2＋100＋10x，
解得x＝10或x＝－5(舍去)，故选B.
【答案】　B
2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　)
A.分钟 B.分钟
C．21.5分钟 D．2.15小时
【解析】　如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100＝282＋.
当t＝时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．
【答案】　A
3．如图1­2­28所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ＝ .
图1­2­28
【解析】　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.
由正弦定理＝⇒
sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，
∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos 30°－sin∠ACB·sin 30°＝.
【答案】　
4．如图1­2­29，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．
图1­2­29
(1)求该军舰艇的速度；
(2)求sin α的值．
【解】　(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.
所以该军舰艇的速度为＝140海里/小时．
(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.