高中数学必修5配套练习正弦定理和余弦定理第3课时

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整理时间：2021-02-23

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第一章　1.1　第3课时
一、选择题
1．在△ABC中，若＝，则角B等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案]　B
[解析]　由正弦定理知＝，∵＝，
∴sinB＝cosB，∵0°2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
[答案]　C
[解析]　由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcosC
＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
cosA＝＝＝－.
3．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案]　B
[解析]　∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝，∴A＝60°.
4．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
[答案]　B
[解析]　∵2sinAcosB＝sin(A＋B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
5．在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两解，则x的取值范围是(　　)
A．x>2 B．x<2
C．2[答案]　C
[解析]　欲使△ABC有两解，须asin60°即x<26．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)
A．75°　　　 B．60°　　　
C．45°　　　 D．30°
[答案]　B
[解析]　∵3＝×4×3sinC，
∴sinC＝，
∵△ABC为锐角三角形，
∴C＝60°，故选B.
二、填空题
7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
[答案]　0
[解析]　∵b2＝a2＋c2－2accosB
＝a2＋c2－2accos120°
＝a2＋c2＋ac，
∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
8．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．
[答案]　
[解析]　∵A＝60°，
∴可设最大边与最小边分别为b，C．
又b＋c＝9，bc＝8，
∴BC2＝b2＋c2－2bccosA
＝(b＋c)2－2bc－2bccosA
＝92－2×8－2×8×cos60°
＝57，
∴BC＝.
三、解答题
9．在△ABC中，S△ABC＝15，a＋b＋c＝30，A＋C＝，求三角形各边边长．
[解析]　∵A＋C＝，∴＝180°，∴B＝120°.由S△ABC＝acsinB＝ac＝15得：ac＝60，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cos120°)
＝(30－b)2－60得b＝14，
∴a＋c＝16
∴a，c是方程x2－16x＋60＝0的两根．
所以或，
∴该三角形各边长为14,10和6.
10．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由sin(C－A)＝1，－π又∵A＋B＋C＝π，∴2A＋B＝，
即2A＝－B,0故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝.
(2)由(1)得cosA＝.
又由正弦定理，得BC＝＝3.
∴S△ABC＝·AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝3.
一、选择题
1．在钝角三角形ABC中，若sinAA．cosA·cosC>0 B．cosB·cosC>0
C．cosA·cosB>0 D．cosA·cosB·cosC>0
[答案]　C
[解析]　由正弦定理得，a∴角C为钝角，∴cosC<0，cosA>0，cosB>0.
2．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
[答案]　B
[解析]　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，
又∵b2＝ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∵B＝60°，∴A＝C＝60°.
故△ABC是等边三角形．
3．在△ABC中，有下列关系式：
①asinB＝bsinA；　　②a＝bcosC＋ccosB；
③a2＋b2－c2＝2abcosC；　　④b＝csinA＋asinC．
一定成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　C
[解析]　对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin(A＋C)＝cosCsinA＋cosAsinC，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C．
4．△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sinC等于(　　)
A． B．
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　由正弦定理得S△ABC＝·AB·BC·sinB＝AB＝，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋4－4×＝3，∴AC＝，再由正弦定理，得＝，∴sinC＝.
二、填空题
5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
[答案]　
[解析]　由余弦定理知72＝52＋BC2＋5BC，即BC2＋5BC－24＝0，
解之得BC＝3，所以S＝×5×3×sin120°＝.
6．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________．
[答案]　1
[解析]　如图，AB＝1，BD＝1，BC＝，
设AD＝DC＝x，在△ABD中，
cos∠ADB＝＝，
在△BDC中，cos∠BDC＝＝，
∵∠ADB与∠BDC互补，
∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴＝－，
∴x＝1，∴∠A＝60°，由＝2R得R＝1.
三、解答题
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，a＝4，b＋c＝6，且b[解析]　∵a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc，a＝4，cosA＝，
∴16＝(b＋c)2－2bc－bC．
又b＋c＝6，∴bc＝8.
解方程组
得b＝2，c＝4，或b＝4，c＝2.
又∵b8．(2014·浙江理，18)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由已知cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB得．
(1＋cos2A)－(1＋cos2B)＝sin2A－sin2B，
∴cos2A－sin2A＝cos2B－sin2B，
即sin(－＋2A)＝sin(－＋2B)，
∴－＋2A＝－＋2B或－＋2A－＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，
∵a≠b，∴A＋B＝，∴∠C＝.
(2)由(1)知sinC＝，cosC＝，
∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝
由正弦定理得：＝，
又∵c＝，sinA＝.∴a＝.
∴S△ABC＝acsinB＝.

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