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课时提升作业 十二
数学归纳法
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.设f(n)=+++…+(n∈N+),在利用数学归纳法证明时,从n=k到n=k+1需添的项为(　　)
A. B.
C.+ D.-
【解析】选D.因为f(k)=++…+
所以f(k+1)=++…+++
故需添的项为+-=-.
【误区警示】本题易错选C.忽略了n=k+1时少了一项.
【拓展延伸】数学归纳法解决项数问题
数学归纳法证明中的项数问题,重点看从n=k到n=k+1时项数的变化规律,多了哪些项,少了哪些项,把握好项的规律,利用数列知识解决.
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步归纳假设应写成　(　　)
A.假设n=2k+1(k∈N+)正确,再推n=2k+3正确
B.假设n=2k-1(k∈N+)正确,再推n=2k+1正确
C.假设n=k(k∈N+)正确,再推n=k+1正确
D.假设n=k(k≥1)正确,再推n=k+2正确
【解析】选B.首先要注意n为奇数,其次还要使n=2k-1能取到1.
3.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是　(　　)
A.f(k+1)=f(k)+k+1 B.f(k+1)=f(k)+k-1
C.f(k+1)=f(k)+k D.f(k+1)=f(k)+k+2
【解析】选C.当n=k+1时,任取其中1条直线,记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是f(k)+k=f(k+1).
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.(2016·佛山高二检测)已知a1=,=,猜想an=__________.
【解析】由a1=,=,得a2=,a3=,a4=,猜想得an=.
答案:
5.(2016·杭州高二检测)用数学归纳法证明:“当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除”时,第一步应验证n=______时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成__________.
【解析】因为n为正偶数,第一步应验证n=2时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成“假设当n=k(k为偶数且k≥2)时xk-yk能被x+y整除”.
答案:2　假设当n=k(k为偶数且k≥2)时xk-yk能被x+y整除
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.用数学归纳法证明:
1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=(n∈N+).
【证明】(1)当n=1时,左边=1×2×3=6,右边==6,等式成立.
(2)假设当n=k时成立.即
1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)
=,
那么当n=k+1时,1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)
=+(k+1)(k+2)·(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4).即当n=k+1时等式成立.
综合上述(1)(2)得,对一切正整数n,等式都成立.
7.(2016·福州高二检测)证明:凸n边形的对角线的条数为f(n)=n(n-3)(n≥4,n∈N*).
【证明】(1)当n=4时,四边形有两条对角线,f(4)=×4×(4-3)=2,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥4,n∈N+)时命题成立,即f(k)=k(k-3),那么,当n=k+1时,增加一个顶点,凸多边形的对角线增加k-1条,则f(k+1)=k(k-3)+k-1
=(k2-k-2)=(k+1)(k-2)=(k+1)[(k+1)-3],即当n=k+1时命题也成立.
根据(1)(2),可知命题对任意的n≥4,n∈N+都成立.
8.用数学归纳法证明凸n(n≥3,n∈N+)边形的内角和f(n)=(n-2)π.
【证明】①三角形的内角和是π,
当n=3时,f(3)=π=(3-2)π,命题成立.
②假设n=k(k≥3)时,命题成立,即f(k)=(k-2)π成立.
当n=k+1时,设A1,A2,…,Ak+1是凸k+1边形的顶点,连结A1Ak,
它把这个凸k+1边形分成凸k边形A1A2…Ak和三角形AkAk+1A1,并且凸k+1边形的内角和等于凸k边形与三角形的内角和的和,即(k-2)π+π=(k-1)π=[(k+1)-2]π,命题也是成立的.
据①②可知结论成立.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.某个命题与正整数n有关,若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得　(　　)
A.当n=6时该命题不成立
B.当n=6时该命题成立
C.当n=4时该命题不成立
D.当n=4时该命题成立
【解析】选C.因为若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,无法向后递推;若当n=4时该命题成立,则当n=5时该命题成立,与已知矛盾.所以当n=4时该命题不成立.
2.在数列{an}中,a1=-1,前n项和Sn=-1,先算出数列的前4项的值,再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是(　　)
A.an=-1 B.an=n-1
C.an=- D.an=-
【解析】选D.因为a1=-1,
S2=-1=-1,
所以a2=(-1)-(-1)=-,
则a3=S3-S2=(-1)-(-1)
=-,
a4=S4-S3=(-1)-(-1)=-,
故猜想an=-.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·西安高二检测)观察下列等式:
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
…
照此规律,第n个等式可为________.
【解析】由已知得,
第n个等式左边为(n+1)(n+2)…(n+n),
右边为2n×1×3×…×(2n-1).
所以第n个等式为(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).
答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)
4.(2016·珠海高二检测)用数学归纳法证明++…+>-,假设n=k时不等式成立,当n=k+1时,应推证的目标不等式是________.
【解析】当n=k+1时,要证的不等式为++…+>-,即++…+>-.
答案:++…+>-
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.求证:对任意正整数n,34n+2+52n+1能被14整除.
【解题指南】证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n))整除,主要是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法找到式子f1(k),f2(k),使得f(k+1)=f(k)·f1(k)+a·f2(k),就可证得命题成立.
【证明】(1)当n=1时,
34n+2+52n+1=36+53=854=14×61,
能被14整除,命题成立;
(2)假设当n=k时,命题成立,即34k+2+52k+1能被14整除,那么当n=k+1时,
34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+2×34+52k+1×52
=34k+2×34+52k+1×34-52k+1×34+52k+1×52
=34(34k+2+52k+1)-52k+1(34-52)
=34(34k+2+52k+1)-56×52k+1,
因为34k+2+52k+1能被14整除,56也能被14整除,所以34(k+1)+2+52(k+1)+1能被14整除,故命题成立.
由(1)(2)知,命题对任意正整数n都成立.
6.(2015·江苏高考)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N+),设Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn},令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.
(1)写出f(6)的值.
(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.
【解题指南】(1)根据题意按a分类计数:a=1,b=1,2,3,4,5,6;a=2,
b=1,2,4,6;a=3,b=1,3,6,共13个.
(2)由(1)知,a=1,b=1,2,3,…,n;a=2,b=1,2,4,6,…,2k;
a=3,b=1,3,6,9,…,3k(k∈N+).所以当n≥6时,f(n)的表达式要按被2×3=6除的余数进行分类,然后利用数学归纳法进行证明.
【解析】(1)f(6)=13.
(2)当n≥6时,
f(n)=(t∈N+)
下面用数学归纳法证明:
①当n=6时,f=6+2++=13,结论成立;
②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在,,中产生,分以下情况讨论:
1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+++3
=(k+1)+2++,结论成立.
2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1
=(k+1)+2++,结论成立.
3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2
=(k+1)+2++,结论成立.
4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2
=(k+1)+2++,结论成立.
5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2
=(k+1)+2++,结论成立.
6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1
=(k+1)+2++,结论成立.
综上所述,结论对n≥6的自然数n均成立.
【补偿训练】(2015·济南高二检测)已知数列{an}中,a1=-,其前n项和Sn满足an=Sn++2(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.
【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Sn++2.
所以Sn=-(n≥2).
则有S1=a1=-,S2=-=-,
S3=-=-,S4=-=-.由此猜想:Sn=-(n∈N+).
用数学归纳法证明:
①当n=1时,S1=-=a1,猜想成立.
②假设n=k(k∈N+)猜想成立,即Sk=-成立,
那么n=k+1时,
Sk+1=-=-=-
=-.
即n=k+1时,猜想成立.
由①②可知,对任意自然数n,猜想结论均成立.
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