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自我小测
1．函数f(x)＝x3－2x2在区间[－1,5]上(　　)
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
2．函数f(x)＝x＋2sin x在区间[－π，0]上的最小值是(　　)
A．－ B．2
C．＋ D．－－
3．已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则当x∈[－2,3]时，f(x)的值域是(　　)
A．[－4，－3] B．[－3,12]
C．[－4,12] D．[－8,2]
4．函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是(　　)
A．当x＝时，f(x)取最大值
B．当x＝时，f(x)取最小值
C．当x＝－时，f(x)取最大值
D．当x＝－时，f(x)取最小值
5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足x≠1时(x－1)·f′(x)＞0，则必有(　　)
A．f(0)＋f(2)＞2f(1)
B．f(0)＋f(2)＜2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)≤2f(1)
6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为__________．
7．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．
8．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为__________．
9．试求函数y＝4x2＋在(0，＋∞)上的最值．
10．已知函数f(x)＝x2－ln x，
(1)若a＝1，证明f(x)没有零点；
(2)若f(x)≥恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1．解析：f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，
∴f(0)＝0，f(4)＝－，f(－1)＝－，f(5)＝－，
∴f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－.
答案：B
2．解析：f′(x)＝1＋2cos x．令f′(x)＝0得x＝－，又f(－π)＝－π，f＝－－，f(0)＝0，故最小值为－－.
答案：D
3．C
4．解析：f′(x)＝2x＋x·(2x)′
＝2x＋x·2x·ln 2.
令f′(x)＝0，得x＝－.
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0，
故函数在x＝－处取极小值，也是最小值．
答案：D
5．解析：当x＞1时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当x＜1时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)在x＝1处取得最小值，即有f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，得f(0)＋f(2)＞2f(1)．
答案：A
6．解析：∵f′(x)＝3(x2－a)，f(x)在(0,1)内有最小值，
∴f′(0)＜0且f′(1)＞0.
∴∴0＜a＜1.
答案：0＜a＜1
7．解析：∵f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，
∴a≤3x2，∴a≤3.
答案：3
8．解析：∵f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x，当x∈时，f′(x)＝excos x≥0，
∴f(x)在上单调递增．
∴f(x)min＝f(0)＝，f(x)max＝.
∴f(x)的值域为.
答案：
9．解：y′＝8x－，令y′＝0，解得x＝.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
0＜x＜
x＝
x＞
y′
－
0
＋
y
极小值
所以由上表可知，函数在x＝处取得最小值，最小值为3，无最大值．
10．(1)证明：a＝1时，f(x)＝x2－ln x(x＞0)，f′(x)＝x－，
由f′(x)＝0，得x＝1，可得f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故f(x)的最小值fmin(x)＝f(1)＝＞0，所以f(x)没有零点．
(2)解：f′(x)＝ax－＝.
①若a＞0，令f′(x)≥0，则x≥，故f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f＝＋ln a，
要使f(x)≥恒成立，只需＋ln a≥，得a≥1.
②若a≤0，f′(x)＜0恒成立，f(x)在(0，＋∞)单调递减，f(1)＝≤0，故不可能f(x)≥恒成立．
综上所述，a≥1.