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课时训练14　数列求和
一、分组求和
1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.15 B.12 C.-12 D.-15
答案:A
解析:∵an=(-1)n(3n-2),
则a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n+2n(n∈N*),则an为(　　)
A.+2n-1-1 B.+2n-1
C.+2n+1-1 D.+2n+1-1
答案:B
解析:∵an+1=an+n+2n,∴an+1-an=n+2n.
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]
=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)
=1++2n-1.
3.(2015广东湛江高二期末,19)已知数列{an}为等差数列,a5=5,d=1;数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)∵数列{an}为等差数列,a5=5,d=1,
∴a1+4=5,解得a1=1,∴an=1+(n-1)×1=n.
∵数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2,
∴b1·23=16,解得b1=2,∴bn=2×2n-1=2n.
(2)∵cn=an+bn=n+2n,
∴Tn=(1+2+3+…+n)+(2+22+23+…+2n)
=+2n+1-2.
二、裂项相消法求和
4.数列{an}的通项公式an=,则其前n项和Sn=(　　)
A. B.
C. D.
答案:A
解析:∵an==2,
∴Sn=a1+a2+…+an
=2
=2.
5.+…+=　　　. 
答案:
解析:∵,
∴+…+
=.
6.(2015山东省潍坊四县联考,17)等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn.等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,a3=b3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,
由已知可得又q>0,∴
∴an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.
(2)由(1)知数列{an}中,a1=3,an=3n,
∴Sn=,∴,
∴Tn=
=.
三、错位相减法求和
7.数列,…,,…前n项的和为　　　　. 
答案:4-
解析:设Sn=+…+,①
Sn=+…+,②
①-②得
Sn=+…+
=2-.∴Sn=4-.
8.(2015湖北高考,文19)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)由题意有,
即解得
故
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,
于是Tn=1++…+,①
Tn=+…+.②
①-②可得Tn=2++…+=3-,故Tn=6-.
(建议用时:30分钟)
1.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.99 C.120 D.121
答案:C
解析:∵an=,
∴Sn=a1+a2+…+an=(-1)+()+…+()=-1,令-1=10,得n=120.
2.已知数列{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=,则项数n等于(　　)
A.13 B.10 C.9 D.6
答案:D
解析:an==1-.
∴Sn=n-=n-1+=5+,
∴n=6.
3.数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2 012等于(　　)
A.1 006 B.2 012 C.503 D.0
答案:A
解析:∵函数y=cos的周期T==4,
∴可分四组求和:
a1+a5+…+a2009=0,
a2+a6+…+a2010=-2-6-…-2010==-503×1006,
a3+a7+…+a2011=0,
a4+a8+…+a2012=4+8+…+2012==503×1008.
故S2012=0-503×1006+0+503×1008
=503×(-1006+1008)=1006.
4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则+…+等于(　　)
A.(2n-1)2 B.(2n-1)
C.4n-1 D.(4n-1)
答案:D
解析:根据前n项和Sn=2n-1,可求出an=2n-1,
由等比数列的性质可得{}仍为等比数列,且首项为,公比为q2,
∴+…+=1+22+24+…+22n-2
=(4n-1).
5.已知数列{an}:,…,那么数列{bn}=前n项的和为(　　)
A.4 B.4
C.1- D.
答案:A
解析:∵an=,
∴bn==4.
∴Sn
=4
=4.
6.如果lg x+lg x2+lg x10=110,那么lg x+lg2x+…+lg10x=　　　　. 
答案:2 046
解析:由已知(1+2+…+10)lgx=110,
∴55lgx=110.∴lgx=2.
∴lgx+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2046.
7.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81.若数列{bn}满足bn=log3an,则数列的前2 013项的和为　　　　. 
答案:
解析:=q3=27,∴q=3.
∴an=a1·qn-1=3×3n-1=3n.∴bn=log3an=n.
∴,
∴数列的前2013项的和为:
+…+
=1-.
8.已知等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4·a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg an的前n项和Sn等于　　　　　. 
答案:1+(n-1)·2n
解析:∵{an}是等比数列,∴a4a2n-4==102n.
∴an=10n,∴2n-1lgan=n·2n-1.
利用错位相减法求得Sn=1+(n-1)2n.
9.正项数列{an}满足:-(2n-1)an-2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.
由于{an}是正项数列,所以an=2n.
(2)由an=2n,bn=,
则bn=,
Tn=+…+.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.
当n=1时,4×1-1=3.
所以an=4n-1,n∈N*.
由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*.
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.
故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.