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章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若sin A＋cos A＝，则这个三角形是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【解析】　若A≤90°，则sin A＋cos A≥1>，∴A>90°.
【答案】　A
2．在△ABC中，内角A满足sin A＋cos A>0，且tan A－sin A<0，则A的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．
【解析】　由sin A＋cos A>0得sin>0.
∵A是△ABC的内角，∴0又tan A由①②得，【答案】　C
3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为(　　) 【导学号：05920080】
A．(8,10) B．(2，)
C．(2，10) D．(，8)
【解析】　设1,3，a所对的角分别为∠C、∠B、∠A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A<12＋32＝10，
32＝1＋a2－2×acos B<1＋a2，
∴2【答案】　B
4．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　)
A．2 B．8
C. D．
【解析】　∵＝＝＝2R＝8，
∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.
【答案】　C
5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　)
A. B. C. D．
【解析】　p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即c2－a2－b2＋ab＝0⇒＝＝cos C.
∴C＝.
【答案】　B
6．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则下面等式一定成立的是(　　)
A．A＝B B．A＝C
C．B＝C D．A＝B＝C
【解析】　由sin Bsin C＝cos2＝⇒2sin Bsin C＝1＋cos A⇒cos(B－C)－cos(B＋C)＝1＋cos A.
又cos(B＋C)＝－cos A⇒cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C.
【答案】　C
7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC＝90 mm，BC＝150 mm，则DE的长等于(　　)
图1
A．210 mm B．200 mm
C．198 mm D．171 mm
【解析】　∠ACB＝70°＋50°＝120°，在△ABC中应用余弦定理可以求出AB的长，即为DE的长．
【答案】　A
8．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B. C. D．3
【解析】　∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
【答案】　C
9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC中，sin A＋sin B＝sin C(cos A＋cos B)，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【解析】　由正弦定理和余弦定理得a＋b＝c＋，即2a2b＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3，∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2，∴(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)c2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故选D.
【答案】　D
10．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】　由已知得a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝＝－，
又0°【答案】　C
11．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cos A等于(　　)
A. B. C. D．0
【解析】　∵CD为∠ACB的平分线，
∴D到AC与D到BC的距离相等．
∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等．
∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴＝.
由正弦定理＝，又∵B＝2A，
∴＝，即＝，∴cos A＝.
【答案】　C
12.如图2，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ(　　)
图2
A．2＋1 B．2－1
C.－1 D．＋1
【解析】　在△ABC中，BC＝
＝＝50(－)，
在△BCD中，sin∠BDC＝
＝＝－1，
又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝－1.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为 ．
【解析】　∵cos C＝，且∠C为钝角．
∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2【答案】　a2＋b214．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ .
【解析】　由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.
【答案】　
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于 ，AC的取值范围为 ．
【解析】　设A＝θ⇒B＝2θ.
由正弦定理得＝，
∴＝1⇒＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.
又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，
故30°<θ<45°⇒∴AC＝2cos θ∈(，)．
【答案】　2　(，)
16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝ m.
图3
【解析】　根据图示，AC＝100 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.
在△AMN中，＝sin 60°，
∴MN＝100×＝150(m)．
【答案】　150
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
【解】　(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，
得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos B>0，
故cos B＝，所以B＝45°.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
【解】　(1)∵cos B＝>0，且0∴sin B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝4，
∴×2×c×＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
【解】　设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos ＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3.
又由正弦定理得sin B＝＝＝，
由题设知0所以cos B＝＝＝.
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝＝＝＝.
20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
【解】　如图所示，
设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CBD中，由余弦定理得cos β＝＝＝－，
∴sin β＝.
而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝×＋×＝.
在△ACD中，＝，
∴AD＝＝15(千米)．
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C＋2cos C＋2＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝a，△ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值. 【导学号：05920081】
【解】　(1)∵cos 2C＋2cos C＋2＝0，
∴2cos2C＋2cos C＋1＝0，即(cos C＋1)2＝0，
∴cos C＝－.
又C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2，
∴c＝a，即sin C＝sin A，
∴sin A＝sin C＝.
∵S△ABC＝absin C，且S△ABC＝sin Asin B，
∴absin C＝sin Asin B，
∴sin C＝，由正弦定理得
2sin C＝，解得c＝1.
22．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝msin x＋cos x(m>0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)若△ABC中，f＋f＝4sin Asin B，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C＝60°，c＝3，求△ABC的面积．
【解】　(1)由题意，f(x)的最大值为，所以＝2.
又m>0，所以m＝，f(x)＝2sin.
令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
(2)设△ABC的外接圆半径为R，
由题意，得2R＝＝＝2.
化简f＋f＝4sin Asin B，
得sin A＋sinB＝2sin Asin B.
由正弦定理，得2R(a＋b)＝2ab，a＋b＝ab.①
由余弦定理，得a2＋b2－ab＝9，
即(a＋b)2－3ab－9＝0.②
将①式代入②，得2(ab)2－3ab－9＝0，
解得ab＝3或ab＝－(舍去)，
故S△ABC＝absin C＝.