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课时训练1　正弦定理
一、正弦定理变形的应用
1.在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.asin B=bcos A D.a=bsin A
答案:B
解析:在△ABC中,由正弦定理得,即.
2.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于(　　)
A.3∶2∶1 B.∶2∶1
C.∶1 D.2∶∶1
答案:D
解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由A+B+C=π,可得C=,故A=,B=,C=.
∴a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=1∶=2∶∶1.故选D.
3.在△ABC中,A=60°,a=3,则等于(　　)
A. B.
C. D.2
答案:D
解析:利用正弦定理及比例性质,得
=2.
二、利用正弦定理解三角形
4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于(　　)
A.4 B.4 C.4 D.
答案:A
解析:∵B=60°,C=75°,
∴A=180°-60°-75°=45°.
∴由正弦定理可得b==4.
故选A.
5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=,B=60°,那么A=(　　)
A.45° B.135°
C.45°或135° D.60°
答案:A
解析:由正弦定理可得sinA=,但a6.(2015河南南阳高二期中,2)在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为(　　)
A.(2,4) B.(2,4)
C.(4,+∞) D.(2,4)
答案:B
解析:∵满足条件的△ABC有两解,
∴ABsin30°∴27.在△ABC中,a=,b=,B=45°,则A=　　　　　. 
答案:60°或120°
解析:由正弦定理,得sinA=.
∵a>b,∴A=60°或A=120°.
8.在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长.
解:∵B=120°,C=15°,
∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°.
∵B最大,∴b最大.
由正弦定理,得
b=.
9.在△ABC中,已知a=2,c=,C=,求A,B,b.
解:∵,∴sinA=.
∵c>a,∴C>A.∴A=.
∴B=,b=+1.
三、判断三角形形状
10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案:B
解析:∵bcosC+ccosB=asinA,
∴由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,
即sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,
故A=,故三角形为直角三角形.
故选B.
11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案:C
解析:由b=2ccosA,根据正弦定理,
得sinB=2sinCcosA,
∵在三角形中,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
代入上式,可得sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,
即sinAcosC-cosAsinC=sin(A-C)=0,
又-π∴A-C=0,即A=C.
同理A=B,∴△ABC为等边三角形,故选C.
12.(2015山东威海高二期中,7)在△ABC中,若,则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形
B.等腰非等边三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案:C
解析:∵,
∴,
可化为,
即sin=sin=sin.
∵A,B,C均为三角形的内角,
∴A=B=C.
即△ABC为等边三角形.故选C.
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1.(2015福建厦门高二期末,3)在△ABC中,若A=30°,B=45°,BC=,则AC等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.2 C.1 D.
答案:B
解析:由正弦定理可得,
从而有AC==2,故选B.
2.在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于(　　)
A.105° B.60°
C.15° D.105°或15°
答案:D
解析:由正弦定理,得
,sinC=.
∵a再由A+B+C=180°,求出B=105°或15°.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=(　　)
A.- B. C.-1 D.1
答案:D
解析:根据正弦定理=2R得,
a=2RsinA,b=2RsinB,
∴acosA=bsinB可化为sinAcosA=sin2B.
∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.
4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=,则的值为(　　)
A.2 B. C. D.1
答案:C
解析:由正弦定理得=2cosA=.
5.在△ABC中,b=2,a=2,且三角形有解,则A的取值范围是(　　)
A.0°C.60°答案:B
解析:∵△ABC有解,∴b·sinA≤a,即sinA≤.
又a6.在△ABC中,若a=3,b=,A=60°,则角C的大小为　　　　　. 
答案:90°
解析:由正弦定理得,,从而,
即sinB=,∴B=30°或B=150°.
由a>b可知B=150°不合题意,∴B=30°.
∴C=180°-60°-30°=90°.
7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是　　　　. 
答案:等边三角形
解析:由正弦定理可将3b=2asinB化为3sinB=2sinAsinB.∴sinA=.
∵△ABC为锐角三角形,∴A=.
又∵cosB=cosC,0∴△ABC为等边三角形.
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=　　　　. 
答案:
解析:由正弦定理=2R,
得2RsinAsinBcosC+2RsinCsinBcosA=×2RsinB.
由0即sin(π-B)=sinB=.
因为a>b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=.
9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.
解:由已知得,
由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB(R为△ABC的外接圆半径),
∴.
∴sinAcosA=sinBcosB.
∴sin2A=sin2B.
又A,B为三角形的内角,
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.
∴△ABC为等腰或直角三角形.
10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=2,A=30°,求ac的值.
解:由正弦定理得
sinB=.
由条件b=6,a=2,知b>a,所以B>A.
∴B=60°或120°.
(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.
在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,则c=4,
∴ac=2×4=24.
(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C,则有a=c=2.
∴ac=2×2=12.