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模块综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是(　　)
A.> B.>1
C．a2【解析】　利用特值法，令a＝－2，b＝2.
则<，A错；<0，B错；a2＝b2，C错．
【答案】　D
2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有(　　)
A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3
C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2
【解析】　∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，
∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.
【答案】　A
3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于(　　)
A．3∶2∶1 B.∶2∶1
C.∶∶1 D．2∶∶1
【解析】　∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，
∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.
∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°
＝1∶∶＝2∶∶1.
【答案】　D
4．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)
A. B. C. D．2
【解析】　由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B，C两点横坐标分别为－1，.
∴S△ABC＝×2×＝.
【答案】　B
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为(　　)
A．1 B．2 C. D.
【解析】　根据S＝bcsin A＝，可得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝3，故a＝.
【答案】　D
6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】　设等差数列的首项为a1，公差为d，
则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，
又∵a2·a6＝a，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
∴d＝－2a1，∴q＝＝3.
【答案】　A
7．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2 C．－ D．－3
【解析】　x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥max，∵x＋≥，
∴－≤－，∴a≥－.
【答案】　C
8．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　)
A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0
C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0
【解析】　∵a3，a4，a8成等比数列，∴a＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0.
【答案】　B
9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0(n∈N*)，bn是an和an＋1的等差中项，设Sn为数列{bn}的前n项和，则S6＝(　　)
A．189 B．186 C．180 D．192
【解析】　由an＋1＝2an，知{an}为等比数列，
∴an＝2n.
∴2bn＝2n＋2n＋1，
即bn＝3·2n－1，
∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.
【答案】　A
10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则(　　)
A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0
【解析】　法一　取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－<0，排除A，C，D，可知选B.
法二　由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，
不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝＋＋＝＝＝.
∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.
【答案】　B
11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)
A．2 B．2 C. D．1
【解析】　由正弦定理得：＝，
∵B＝2A，a＝1，b＝，
∴＝.
∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.
∴cos A＝.
又0＜A＜π，∴A＝，∴B＝2A＝.
∴C＝π－A－B＝，∴△ABC为直角三角形．
由勾股定理得c＝＝2.
【答案】　B
12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
【解析】　设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4，两式相乘，得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以a·q＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.
【答案】　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sin C＝________. 【导学号：05920086】
【解析】　由三角形的面积公式，得S＝AB·BCsin ＝，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ，得AC＝，再由三角形的面积公式，得S＝AC·BCsin C＝，即可得出sin C＝.
【答案】　
14．(2015·湖北高考)若变量x，y满足约束条件则3x＋y的最大值是________．
【解析】　画出可行域，如图阴影部分所示，设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z，平移直线y＝－3x知当直线y＝－3x＋z过点A时，z取得最大值．
由可得A(3,1)．故zmax＝3×3＋1＝10.
【答案】　10
15．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为________．
【解析】　设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.
【答案】　[2,8]
16．观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
…
照此规律，第n个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝________.
【解析】　分n为奇数、偶数两种情况．
第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2.
当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n－1)＝－＝－.
当n为奇数时，第n个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－2)2－(n－1)2]＋n2＝－＋n2＝.
综上，第n个等式为
12－22＋32－…＋(－1)n－1n2
＝(－1)n＋1.
【答案】　(－1)n＋1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m＝(a2＋c2－b2，－a)，n＝(tan B，c)，且m⊥n，求∠B的值．
【解】　由m⊥n得
(a2＋c2－b2)·tan B－a·c＝0，
即(a2＋c2－b2)tan B＝ac，得a2＋c2－b2＝，
所以cos B＝＝，
即tan Bcos B＝，即sin B＝，
所以∠B＝或∠B＝.
18．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，S9＝－36，S13＝－104，在等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7, 求b6. 【导学号：05920087】
【解】　∵S9＝－36＝9a5，∴a5＝－4，
∵S13＝－104＝13a7，∴a7＝－8.
∴b＝b5·b7＝a5 ·a7＝32.
∴b6＝±4.
19．(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 【导学号：05920088】
【解】　原不等式可化为
ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.
(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1；
(2)当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0⇒x≥或x≤－1；
(3)当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
①当>－1，即a<－2时，原不等式等价于－1≤x≤；
②当＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；
③当<－1，即－2综上所述：当a<－2时，原不等式的解集为；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
当a>0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪.
20．(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cos C＝.
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos A的值．
【解】　(1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4×＝4.
∴c＝2.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cos C＝，∴sin C＝＝＝.
∴sin A＝＝＝.
∵a∴cos A＝＝＝.
21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】　(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．
又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，
∴＝3(n≥2)，
∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
则an＋1＝－2an＋5×3n，
∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．
22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1 t A,1 t B产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：
原料
每种产品所需原料(t)
现有原
料数(t)
A
B
甲
2
1
14
乙
1
3
18
利润(万元/t)
5
3
—
(1)在现有原料条件下，生产A，B两种产品各多少时，才能使利润最大？
(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？
【解】　(1)生产A，B两种产品分别为x t，y t，则利润z＝5x＋3y，x，y满足作出可行域如图：
当直线5x＋3y＝z过点B时，z取最大值37，即生产A产品 t，B产品 t时，可得最大利润．
(2)设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直线斜率k＝－，
又kAB＝－2，kCB＝－，要使最优解仍为B点，
则－2≤－≤－，解得≤m≤15，
则B产品的利润在万元/t与15万元/t之间时，原最优解仍为生产A产品 t，B产品 t，若B产品的利润超过15万元/t，则最优解为C(0,6)，即只生产B产品6 t，若B产品利润低于万元/t，则最优解为A(7,0)，即只生产A产品7 t.