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单元质量评估(三)
(第三讲)
(90分钟　120分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为　(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】选B.由柯西不等式,
(mt+ns)2≤(m2+n2)(t2+s2)=16,得|mt+ns|≤4,
当且仅当ms=nt时等号成立.
2.(2016·深圳高二检测)函数y=+2的最大值为　(　　)
A. B. C.3 D.5
【解析】选B.根据柯西不等式,有
≤(1+4)[(x-5)+(6-x)]=5,所以y=+2≤.
3.设a,b,c>0,且a+b+c=1,则++的最大值是　(　　)
A.1 B. C.3 D.9
【解析】选B.由柯西不等式得[()2+()2+()2]·(12+12+12)≥(++)2,所以(++)2≤1×3=3.当且仅当a=b=c=时等号成立.故++的最大值为.
4.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是　(　　)
A.1 B.n C.n2 D.
【解析】选C.设n个正数为x1,x2,…,xn.由柯西不等式得:(x1+x2+…+xn)(++…+)≥=(1+1+…+1)2=n2.当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.
5.(2016·石家庄高二检测)已知正数a,b,c满足a+b+c=1,则++的最大值为　(　　)
A.3 B.3 C.18 D.9
【解析】选B.根据柯西不等式,++≤=3,当且仅当a=b=c=时,等号成立.
6.(2016·西宁高二检测)已知a,b,x1,x2∈R+,ab=1,x1+x2=2,则M=(ax1+bx2)·(bx1+ax2)与4的大小关系是　(　　)
A.M>4 B.M<4 C.M≥4 D.M≤4
【解析】选C.(ax1+bx2)(bx1+ax2)
=[()2+()2]·[()2+()2]
≥[(x1+x2)]2=(x1+x2)2=4.
7.设a1,a2,a3为正数,E=++,F=a1+a2+a3,则E,F的大小关系是　(　　)
A.EC.E=F D.E≤F
【解析】选B.不妨设a1≥a2≥a3>0,
于是≤≤,a2a3≤a3a1≤a1a2.
由排序不等式:顺序和≥乱序和,得++≥
·a2a3+·a3a1+·a1a2=a3+a1+a2,
即++≥a1+a2+a3.
所以E≥F.
8.(2016·武汉高二检测)已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取得最小值时的x,y,z的值分别为　(　　)
A.,, B.,,
C.1,, D.1,,
【解析】选B.
(x2+y2+z2)(4+9+16)≥(2x+3y+4z)2=100,
当且仅当==且2x+3y+4z=10时等号成立,
此时x=,y=,z=.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
9.有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开,则他们等候的总时间最短为　　　　s.
【解析】由题意知,等候的时间最短为3×4+4×3+5×2+7=41.
答案:41
10.(2016·盐城高二检测)正数a,b,c满足a+b+4c=1,则++的最大值为　　　　.
【解析】≤(1+1+)(a+b+4c)=,
所以++≤.
答案:
11.(2016·昆明高二检测)已知0【解析】由三角不等式,得
+
≥=,
当且仅当x=1-x,y=1-y,
即x=,y=时,等号成立.
故f(x)的最小值为.
答案:
12.锐角三角形中,设P=,Q=acosC+bcosB+ccosA,则P,Q的关系为　　　　.
【解析】不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cosA≤cosB≤cosC,
则由排序不等式有
Q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA
=R(2sinAcosB+2sinBcosC+2sinCcosA)
=R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]
=R(sinC+sinA+sinB)
=P=.
答案:P≤Q
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)(2016·临沂高二检测)已知2x+3y+5z=29,求函数u=+ +的最大值.
【解析】根据柯西不等式,
120=(1+1+1)[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]
≥(++)2,
于是++≤2.
当且仅当x=,y=,z=时等号成立.
故函数u=++的最大值为2.
14.(10分)(2016·长春高二检测)已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,求证:++≥36.
【证明】(x+y+z)≥
=(1+2+3)2=36,当且仅当x2=y2=z2,
即x=,y=,z=时,等号成立.
【一题多解】(利用基本不等式)
++=(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)
=14+++≥14+4+6+12=36.
当且仅当y=2x,z=3x,且x+y+z=1,
所以x=,y=,z=时,等号成立.
15.(10分)已知a,b,c为正数,a≥b≥c,求证:
(1)≥≥.
(2)++≥++.
【解析】(1)因为a≥b>0,于是≤,又c>0,
所以>0,从而≥.
同理,因为b≥c>0,于是≤,
因为a>0,所以>0,
于是得≥.
从而≥≥.
(2)由(1)≥≥,于是顺序和≥乱序和得,
++≥++
=++
≥++=++
=++.
16.(10分)设c1,c2,…,cn为正数组a1,a2,…,an的某一排列,求证:++…+≥n.
【证明】不妨设0则≥≥…≥.
因为,,…,是,,…,的一个排列,
故由排序原理,反序和≤乱序和
得a1·+a2·+…+an·
≤a1·+a2·+…+an·.
即++…+≥n.
17.(10分)(2016·徐州高二检测)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m的值.
(2)若a,b,c∈R+,且++=m,求证:a+2b+3c≥9.
【解析】(1)因为f(x+2)=m-|x|≥0,等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m},
又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.
(2)由(1)知++=1,
又a,b,c∈R+,由柯西不等式得
a+2b+3c=(a+2b+3c)
≥=9.
18.(10分)(2016·广州高二检测)设a1,a2,…,an为1,2,3,…,n的一个排列.求证:++…+≤++…+.
【证明】设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列且b1c1,c2,…,cn-1是a1,a2,…,an-1的另一个排列且c1于是>>…>.由乱序和≥反序和,得++…+≥++…+.
因为b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n,
所以++…+≥++…+.
即++…+≤++…+≤++…+.
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