本文由 831808 收集发布，转载请注明出处，如有问题请联系我们！高中数学必修5练习 基本不等式（一） Word版含解析

3.4　基本不等式：≤(一)
课时目标
1．理解基本不等式的内容及其证明；
2．能利用基本不等式证明简单不等式．
1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
2．若a，b都为正数，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤ (a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.
(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2.
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
一、选择题
1．已知a>0，b>0，则，，，中最小的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.B.C.D.
答案　D
解析　方法一　特殊值法．
令a＝4，b＝2，则＝3，＝，＝，＝.∴最小．
方法二　＝，由≤≤≤，可知最小．
2．已知m＝a＋ (a>2)，n＝x2－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是(　　)
A．m>n B．m答案　A
解析　∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，
n＝22－x2<22＝4.∴m>n.
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤B．ab<1<
C．ab<<1D.答案　B
解析　∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>>0，
∴>1，∴ab<1<.
4．已知正数0A．a2＋b2B．2C．2abD．a＋b
答案　D
解析　因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又05．设0A.B．bC．2abD．a2＋b2
答案　B
解析　∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，∴>，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为(　　)
A．0B．－2C．－D．－3
答案　B
解析　x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立
⇔ax≥－x2－1⇔a≥max.
∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.
二、填空题
7．若a<1，则a＋有最______值，为________．
答案　大　－1
解析　∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
8．若lgx＋lgy＝1，则＋的最小值为________．
答案　2
解析　∵lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，
∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)．
9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
答案　3
解析　∵x>0，y>0且1＝＋≥2，
∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．
10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．
答案　
解析　∵x>0，∴>0，易知a>0.
∴≥，
∴≤x＋＋3.
∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)，
∴≤5.∴a≥.
三、解答题
11．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明　∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
12．a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．
解　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.
∵＋≥，
∴n≤＋.
∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
∴n≤＋，
∴n≤＋＋2.
∵＋≥2
＝2(2b＝a＋c时取等号)．
∴n≤4.∴n的最大值是4.
能力提升
13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．8B．6C．4D．2
答案　C
解析　只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，
又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2＋1≥9，
即()2＋2－8≥0求得≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.
14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
证明　∵＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
∴2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
∵a，b，c为不等正实数，
∴＋＋<＋＋.
1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．
2．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．
一方面：当a＝b时，＝；
另一方面：当＝时，也有a＝b.