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学业分层测评（八）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　)
①结论相反的判断，即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义等；
④原结论．
A．①②　　B．①②④　　C．①②③　　D．②③
【解析】　由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．
【答案】　C
2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是(　　)
A.＝
B.＜
C.＝且＜
D.＝或＜
【解析】　应假设≤，
即＝或＜.
【答案】　D
3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为(　　)
A．0个　　　B．1个 C．2个　　　D．3个
【解析】　对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；
对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．
【答案】　C
4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则(　　)
A．M≥N B．M≤N
C．M>N D.M【解析】　依题意易知1－a,1－b,1－c∈R＋，由均值不等式知≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，∴(1－a)(1－b)(1－c)≤，
从而有≥(1－b)(1－c)，即M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．故选A.
【答案】　A
5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
【解析】　∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，
∴a，b，c三者中至少有一个不小于2.
【答案】　C
二、填空题
6．若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________.
【导学号：32750042】
【答案】　a，b中没有任何一个为正数(或a≤0且b≤0)
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
【解析】　∵lg 9＞0，lg 11＞0，
∴＜＝＜＝1，
∴lg 9·lg 11＜1.
【答案】　lg 9·lg 11＜1
8．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．
【解析】　∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，
∴M＝＋＋＋…＋
＜＝1.
【答案】　M＜1
三、解答题
9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，求c的最大值．
【解】　2a＋b＝2a＋2b≥2，当且仅当a＝b时，即2a＋b≥4时取“＝”，
由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，
得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，
∴2c＝＝1＋≤1＋＝，
故c≤log2＝2－log23.
10．已知n∈N＋，求证：<＋＋…＋<.
【证明】　k<<＝(2k＋1)(k＝1,2，…，n)．
若记Sn＝＋＋…＋，则
Sn>1＋2＋…＋n＝，
Sn<(3＋5＋…＋2n＋1)＝(n2＋2n)<.
[能力提升]
1．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为(　　)
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
【解析】　三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．
【答案】　D
2．设x，y都是正实数，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)
A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1
C．x＋y≤(＋1)2 D.xy≥2(＋1)
【解析】　由已知
(x＋y)＋1＝xy≤，
∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.
∵x，y都是正实数，
∴x＞0，y＞0，
∴x＋y≥2＋2＝2(＋1)．
【答案】　A
3．已知a＞2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)．
【解析】　∵a＞2，
∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0.
又loga(a－1)≠loga(a＋1)，
∴
＜，
而＝loga(a2－1)
＜logaa2＝1，
∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.
【答案】　＜
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋),
【导学号：32750043】
(1)求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜.
【解】　(1)∵a1＝2，an＋1＝2·an(n∈N＋)，
∴a2＝22·a1＝16，a3＝2·a2＝72.
又∵＝2·，n∈N＋，
∴为等比数列．
∴＝·2n－1＝2n，
∴an＝n2·2n.
(2)证明：cn＝＝，
∴c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋＋…＋
＜＋＋＋·
＝＋·
＜＋·＝＋
＝＝＜＝，所以结论成立．