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章末综合测评(二)　圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　)
A. 　 B．2　　
C．2　　 D．4
【解析】　方程化为标准方程为－＝1，
∴a2＝3，b2＝9.
∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.
【答案】　D
2．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
【解析】　抛物线可化为x2＝y，故开口向上，焦点为.
【答案】　B
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　) 【导学号：18490079】
A. B.
C．1 D.
【解析】　抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.
【答案】　B
4．已知抛物线C1：y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
【解析】　抛物线C1：y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2(－y)2，即y2＝－x，其准线方程为x＝.
【答案】　C
5．已知点F，A分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　∵·＝0，∴FB⊥AB，∴b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－1－e＝0，∴e＝.
【答案】　D
6．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】　由e＝，得＝，
∴c＝a，b＝＝a.
而－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，
∴所求渐近线方程为y＝±x.
【答案】　C
7.如图1，已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是(　　)
图1
A. B.
C. D.
【解析】　因为PF⊥x轴，所以P.
又OP∥AB，所以＝，即b＝c.
于是b2＝c2，
即a2＝2c2，所以e＝＝.
【答案】　A
8．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
【解析】　因为双曲线左焦点的坐标为F(－2，0)，
所以c＝2.
所以c2＝a2＋b2＝a2＋1，
即4＝a2＋1，解得a＝.
设P(x，y)，则·＝x(x＋2)＋y2，
因为点P在双曲线－y2＝1上，
所以·＝x2＋2x－1＝－－1.
又因为点P在双曲线的右支上，所以x≥.
所以当x＝时，·最小，且为3＋2，
即·的取值范围是[3＋2，＋∞)．
【答案】　B
9．已知定点A，B满足|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是(　　)
A. B.
C. D．5
【解析】　已知定点A，B满足|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则点P的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝2.所以|PA|的最小值是点A到右顶点的距离，即为a＋c＝2＋＝，选C.
【答案】　C
10．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则n＝(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　依题意知，a＝，b＝，
∴c2＝a2－b2＝2－n，
又e＝，
∴＝＝，∴n＝.
【答案】　B
11．已知直线y＝k(x＋2)与双曲线－＝1，有如下信息：联立方程组消去y后得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，分类讨论：(1)当A＝0时，该方程恒有一解；(2)当A≠0时，Δ＝B2－4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1, ] B．[，＋∞)
C．(1，2] D．[2，＋∞)
【解析】　依题意可知直线恒过定点(－2，0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2，0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－，即0【答案】　B
12．已知点P为抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q，则点Q(　　)
A．位于原点的左侧 B．与原点重合
C．位于原点的右侧 D．以上均有可能
【解析】　设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D，C，圆与直线l、直线PF分别切于点A，B.如图，由抛物线的定义知|PC|＝|PF|，由切线性质知|PA|＝|PB|，于是|AC|＝|BF|.又|AC|＝|DO|，|BF|＝|FQ|，所以|DO|＝|FQ|，而|DO|＝|FO|，所以O，Q重合，故选B.
【答案】　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2013·江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
【解析】　由双曲线方程可知a＝4，b＝3，
所以两条渐近线方程为y＝±x.
【答案】　y＝±x
14．(2016·东城高二检测)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．
【解析】　由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.
【答案】　8
15.如图2所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________. 【导学号：18490080】
图2
【解析】　由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线l为x＝－2，∴K(－2，0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，
|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，
∴y0＝4，即A(2，4)，∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.
【答案】　8
16．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|PQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
【解析】　设直线l的方程为
y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由联立得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝－，
∴＝－＝－1＋，
＝，
即Q.又|FQ|＝2，F(1，0)，
∴＋＝4，解得k＝±1.
【答案】　±1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程．
【解】　设椭圆的半焦距为c，依题意，
得a＝且e＝＝，
∴a＝，c＝，
从而b2＝a2－c2＝1，
因此所求椭圆的方程为＋y2＝1.
18．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．
【解】　(1)|PF1|·|PF2|≤＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝， ①
由题意知：
∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2. ②
由①②得c＝6，∴b＝8.
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若椭圆＋＝1的离心率为，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．
【解】　(1)依题意，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝16(a>0)．
∵圆与y轴相切，∴a＝4，
∴圆的方程为(x－4)2＋y2＝16.
(2)∵椭圆＋＝1的离心率为，
∴e＝＝＝，解得b2＝9.
∴c＝＝4，
∴F1(－4，0)，F2(4，0)，
∴F2(4，0)恰为圆心C，
(ⅰ)过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2，则∠P1F2F1＝∠P2F2F1＝90°，符合题意；
(ⅱ)过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，
连接CP3，CP4，则∠F1P3F2＝∠F1P4F＝90°，符合题意．
综上，圆C上存在4个点P，使得△PF1F2为直角三角形．
20．(本小题满分12分)(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
【解】　(1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点P(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)法一　由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
法二　∵＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底边|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝6.
21．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
【解】　(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2，0)．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±.
所以菱形OABC的面积是
|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)四边形OABC不可能为菱形．理由如下：
假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由消去y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则＝－，
＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，
所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程； 【导学号：18490081】
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－.求证：△AOB的面积为定值．
【解】　(1)由题意得，b＝＝，＝，
又a2＋b2＝c2，
联立解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标满足
消去y化简得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
由Δ>0得4k2－m2＋3>0，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝k2＋km＋m2＝.
∵kOA·kOB＝－，＝－，即y1y2＝－x1x2，
∴＝－·，即2m2－4k2＝3，
∵|AB|＝
＝
＝＝.
又O到直线y＝kx＋m的距离d＝.
∴S△AOB＝d|AB|＝
＝
＝
＝，为定值．