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模块综合检测(二)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则 2a－b＝(　　)
A．(5,7)　　　　　　　　　 B．(5,9)
C．(3,7) D．(3,9)
解析：选A　因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)，故选A.
2．点M(2，tan 300°)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　∵tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－，
∴M(2，－)．故点M(2，tan 300°)位于第四象限．
3．已知＝(2,3)，＝(－3，y)，且⊥，则y等于(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选A　∵⊥，∴·＝－6＋3y＝0，∴y＝2.
4．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　cos＝sin φ＝，又|φ|<，则cos φ＝，所以tan φ＝.
5.·等于(　　)
A．tan α B．tan 2α
C．1 D.
解析：选B　·＝·＝tan 2α.
6．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A　由题意可知tan α＋tan β＝3，
tan α·tan β＝2，
则tan(α＋β)＝＝－3.
7．已知函数f(x)＝2sin x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为(　　)
A. B.
C．π D．2π
解析：选C　∵f(x)＝2sin x的周期为2π，
∴|x1－x2|的最小值为π.
8．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于(　　)
A．1 B．－1
C. D.
解析：选A　由|a·b|＝|a||b|知a∥b.所以sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x.而x∈(0，π)，所以sin x＝cos x，即x＝，故tan x＝1.
9．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：选C　函数y＝sin x的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin的图象；再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin的图象，所以所得函数的解析式是y＝sin.
10．(山东高考)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
解析：选A　当0≤x≤9时，－≤－≤，
－≤sin≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－，其和为2－.
11．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝(　　)
A．2 B．3
C. D.
解析：选D　建系如图．
设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，
＝(xC－xB，yC)，
＝(－xB,1)．
∵＝ ，
∴xC－xB＝－xB⇒xC＝(1－)xB，yC＝.
＝((1－)xB，)，＝(0,1)，·＝.
12．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为(　　)
A．3 B．－3
C．0 D．2
解析：选A　由原式可得
解得所以x－y＝3.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2××＝10.
答案：10
14．(江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3.
答案：3
15．(山东高考)函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin2x＋＋，所以其最小正周期为＝π.
答案：π
16．化简：sin2＋sin2－sin2α的结果是________．
解析：原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－cos 2α·cos－sin2α
＝1－－
＝.
答案：
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设a＝(1＋cos x,1＋sin x)，b＝(1,0)，c＝(1,2)．
(1)求证：(a－b)⊥(a－c)；
(2)求|a|的最大值，并求此时x的值．
解：(1)证明：a－b＝(cos x,1＋sin x)，
a－c＝(cos x，sin x－1)，
(a－b)·(a－c)＝(cos x,1＋sin x)·(cos x，sin x－1)＝cos2x＋sin2x－1＝0.
∴(a－b)⊥(a－c)．
(2)|a|＝
＝
＝ ≤ ＝＋1.
当sin＝1，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，|a|有最大值＋1.
18．(本小题满分12分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；
(2)求f(x)的解析式．
解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝3sin (α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)由(1)得＝2tan α，
即＝2x，
∴y＝，
即f(x)＝.
19．(本小题满分12分)已知cos＝－，sinβ－＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos的值．
解：∵＜α＜π，0＜β＜，
∴α－∈，β－∈.
∴sin＝ ＝，
cos＝ ＝.
∵＋＝，
∴cos＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝－.
20．(本小题满分12分)(湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．
解：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－＝10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
21．(本小题满分12分)已知f(x)＝2cos2x＋sin 2x－＋1(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的递增区间；
(3)当x∈时，求f(x)的值域．
解：f(x)＝sin 2x＋(2cos2x－1)＋1＝sin 2x＋
cos 2x＋1＝2sin＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
得2kπ－≤2x≤2kπ＋，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的递增区间为(k∈Z)．
(3)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈.
∴f(x)∈[0,3]．
22．(本小题满分12分)(陕西高考)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)求f (x)在上的最大值和最小值．
解：f(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cossin 2x－sincos 2x
＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤.
由正弦函数的性质，
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，
当2x－＝，即x＝时，f＝，
∴f(x)的最小值为－.
因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.