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课时训练18　简单的线性规划问题
一、求线性目标函数的最值
1.(2015广东湛江高二期末,10)若实数x,y满足若z=x+2y,则z的最大值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析:作出不等式组对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=-x+,平移直线y=-x+,
由图象可知当直线经过点A(0,1)时,直线y=-x+的截距最大,此时z最大,代入目标函数得z=2.故选B.
2.(2015河南郑州高二期末,7)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为(　　)
A.6 B.7
C.8 D.23
答案:B
解析:画出不等式表示的可行域,如图,
让目标函数表示直线y=-在可行域上平移,知在点B处目标函数取到最小值,解方程组得(2,1).
所以zmin=4+3=7.故选B.
3.设变量x,y满足约束条件则z=x-3y的最小值为　　　　　. 
答案:-8
解析:作出可行域如图阴影部分所示.
可知当x-3y=z经过点A(-2,2)时,z有最小值,此时z的最小值为-2-3×2=-8.
二、求非线性目标函数的最值
4.若实数x,y满足的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案:C
解析:实数x,y满足的相关区域如图中的阴影部分所示.
表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,的取值范围为(1,+∞).
5.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是　　　　　. 
答案:
解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.
由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=.
三、求线性规划中的参数
6.x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(　　)
A.或1 B.2或
C.2或1 D.2或-1
答案:D
解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.
由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.
7.(2015山东潍坊四县联考,15)已知a>0,x,y满足若z=2x+y的最小值为1,则a=　　　　　. 
答案:
解析:因为a>0,作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,2),B(1,-2a),C(3,0).
由z=2x+y得y=-2x+z,
将直线y=-2x进行平移,可得当经过点B时,目标函数z达到最小值,此时z=1,即2-2a=1,解得a=.
8.当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 
答案:
解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,
设目标函数z=ax+y,则y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,
则a>0,数形结合知满足即可,
解得1≤a≤,所以a的取值范围是.
四、线性规划中的实际应用
9.(2015河南南阳高二期中,20)某人上午7:00乘汽车以v1 km/h(30≤v1≤100)匀速从A地出发到相距300 km的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以v2 km/h(4≤v2≤20)匀速从B地出发到相距50 km的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x,y小时.如果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)元,那么v1,v2分别是多少时走的最经济,此时花费多少元?
解:由题意得,x=,y=,
∵30≤v1≤100,4≤v2≤20,
∴3≤x≤10,≤y≤.
由题设中的限制条件得9≤x+y≤14,
于是得约束条件
目标函数p=100+3(5-x)+2(8-y)=131-3x-2y,作出可行域(如图),
设z=3x+2y,当y=-x+平移到过(10,4)点时在y轴上的截距最大,
此时p最小.
所以当x=10,y=4,即v1=30,v2=12.5时,pmin=93元.
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1.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B. C. D.
答案:B
解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则解得m=.
2.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为(　　)
A.-7 B.-4
C.1 D.2
答案:A
解析:作约束条件所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点A(5,3)时,z取最小值,且为-7,选A.
3.若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为(　　)
A. B.1 C. D.2
答案:C
解析:如图所示,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.
S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=2-.
4.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为(　　)
A.-1 B.-1
C.2-1 D.-1
答案:A
解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的最小距离为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=-1=-1.
5.已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=(　　)
A.-16 B.-6 C.- D.6
答案:B
解析:由z=x+3y得y=-x+.
先作出的图象,
因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B.
6.若变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为　　　　　. 
答案:3
解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y,得y=,当直线y=在y轴上的截距最小时,z取得最大值.由图知,当直线通过点A时,在y轴上的截距最小,
由解得A(1,-1).
所以zmax=1-2×(-1)=3.
7.记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是　　　　　. 
答案:
解析:作出如图所示的可行域,且A(0,4),B(1,1).
又∵直线y=a(x+1)过点C(-1,0),而kBC=,kAC=4.
从而直线y=a(x+1)与D有公共点时,a∈.
8.已知变量x,y满足则z=x+y-2的最大值为　　　　　. 
答案:1
解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,
由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取最大值.又A(1,2),∴zmax=1+2-2=1.
9.设z=2y-2x+4,式中x,y满足求z的最大值和最小值.
解:作出满足条件的可行域如图:
作直线l:2y-2x=t,当l过点A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8.
当l过点B(1,1)时,zmin=2×1-2×1+4=4.
所以,z的最大值为8,最小值为4.
10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是xmin,ymin,总收益为z万元,由题意得:
目标函数为z=3000x+2000y.
作出二元一次不等式组所表示的区域,即可行域,如图:
作直线l,即3000x+2000y=0,即3x+2y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.
由解得
即M(100,200).
则zmax=3000x+2000y=700000(元),
即该公司在甲电视台做100min广告,在乙电视台做200min广告,公司收益最大,最大收益是70万元.