本文由 shenqing 收集发布,转载请注明出处,如有问题请联系我们!高中数学必修5练习:第三章 不等式 章末检测(A) Word版含解析
第三章 章末检测(A)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧,则a的取值范围是( )
A.a<0或a>2B.0答案 B
2.若不等式ax2+bx-2>0的解集为,则a+b等于( )
A.-18B.8C.-13D.1
答案 C
解析 ∵-2和-是ax2+bx-2=0的两根.
∴,∴.
∴a+b=-13.
3.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
答案 B
解析 ∵a2+a<0,∴a(a+1)<0,
∴-1a2>-a2>a.
4.不等式<的解集是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)
答案 D
解析 <⇔-<0⇔<0
⇔>0⇔x<0或x>2.
5.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为( )
A.12B.10C.8D.2
答案 B
解析 画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=4x+2y可转化为y=-2x+,
作出直线y=-2x并平移,显然当其过点A时纵截距最大.
解方程组得A(2,1),∴zmax=10.
6.已知a、b、c满足cA.ab>acB.c(b-a)>0C.ab2>cb2D.ac(a-c)<0
答案 C
解析 ∵c0,c<0.
而b与0的大小不确定,在选项C中,若b=0,则ab2>cb2不成立.
7.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则M∩N为( )
A.{x|-4≤x<-2或3B.{x|-4C.{x|x≤-2或x>3}
D.{x|x<-2或x≥3}
答案 A
解析 ∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7},
N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2或x>3},
∴M∩N={x|-4≤x<-2或38.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立,则( )
A.-1答案 C
解析 (x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)<1⇔-x2+x+(a2-a-1)<0恒成立
⇔Δ=1+4(a2-a-1)<0⇔-9.在下列各函数中,最小值等于2的函数是( )
A.y=x+
B.y=cos x+ (0C.y=
D.y=ex+-2
答案 D
解析 选项A中,x>0时,y≥2,x<0时,y≤-2;
选项B中,cosx≠1,故最小值不等于2;
选项C中,==+,
当x=0时,ymin=.
选项D中,ex+-2>2-2=2,
当且仅当ex=2,
即x=ln2时,ymin=2,适合.
10.若x,y满足约束条件,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是( )
A.(-1,2) B.(-4,2)C.(-4,0] D.(-2,4)
答案 B
解析 作出可行域如图所示,
直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,
由图象可知-1<-<2,
即-411.若x,y∈R+,且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为( )
A.12B.14C.16D.18
答案 D
解析 由2x+8y-xy=0,得y(x-8)=2x,
∵x>0,y>0,∴x-8>0,得到y=,
则μ=x+y=x+=x+
=(x-8)++10≥2+10=18,
当且仅当x-8=,即x=12,y=6时取“=”.
12.若实数x,y满足则的取值范围是( )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.[1,+∞)
答案 B
解析 可行域如图阴影,的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率,易求得>1或<-1.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.若A=(x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则A、B的大小关系为________.
答案 A14.不等式>0的解集是
________________________________________________________________________.
答案 {x|-56}
15.如果a>b,给出下列不等式:
①<;②a3>b3;③>;④2ac2>2bc2;
⑤>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.
其中一定成立的不等式的序号是________.
答案 ②⑥
解析 ①若a>0,b<0,则>,故①不成立;
②∵y=x3在x∈R上单调递增,且a>b.
∴a3>b3,故②成立;
③取a=0,b=-1,知③不成立;
④当c=0时,ac2=bc2=0,2ac2=2bc2,
故④不成立;
⑤取a=1,b=-1,知⑤不成立;
⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)
=[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0,
∴a2+b2+1>ab+a+b,故⑥成立.
16.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于2千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要________小时.
答案 8
解析 这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则
t==+≥2=8(小时),
当且仅当=,即v=100时等号成立,
此时t=8小时.
三、解答题(本大题共6小题,共74分)
17.(12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R.
解 (1)由题意知1-a<0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,
∴,解得a=3.
∴不等式2x2+(2-a)x-a>0
即为2x2-x-3>0,解得x<-1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2+bx+3≥0,即为3x2+bx+3≥0,
若此不等式解集为R,则b2-4×3×3≤0,∴-6≤b≤6.
18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.
解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0,
即<0.
①当-<,即a>0时,-②当-=,即a=0时,原不等式解集为∅;
③当->,即a<0时,综上知,当a>0时,原不等式的解集为;
当a=0时,原不等式的解集为∅;
当a<0时,原不等式的解集为.
19.(12分)证明不等式:a,b,c∈R,a4+b4+c4≥abc(a+b+c).
证明 ∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,
c4+a4≥2c2a2,
∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc.
∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),
即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).
20.(12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,由题意知
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.
作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线x+0.5y=0的距离最大,这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.
解方程组
得x=4,y=6,此时z=1×4+0.5×6=7(万元).
∵7>0,∴当x=4,y=6时,z取得最大值.
答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.
21.(12分)设a∈R,关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1,x2,且0解 设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.
因为x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,
且0所以⇒
⇒⇒
⇒-2所以a的取值范围是{a|-222.(14分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台,每批都购入x台(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4台,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
解 (1)设题中比例系数为k,若每批购入x台,则共需分批,每批价值20x.
由题意f(x)=·4+k·20x,
由x=4时,y=52,得k==.
∴f(x)=+4x (0(2)由(1)知f(x)=+4x (0∴f(x)≥2=48(元).
当且仅当=4x,即x=6时,上式等号成立.
故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧,则a的取值范围是( )
A.a<0或a>2B.0答案 B
2.若不等式ax2+bx-2>0的解集为,则a+b等于( )
A.-18B.8C.-13D.1
答案 C
解析 ∵-2和-是ax2+bx-2=0的两根.
∴,∴.
∴a+b=-13.
3.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
答案 B
解析 ∵a2+a<0,∴a(a+1)<0,
∴-1a2>-a2>a.
4.不等式<的解集是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)
答案 D
解析 <⇔-<0⇔<0
⇔>0⇔x<0或x>2.
5.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为( )
A.12B.10C.8D.2
答案 B
解析 画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=4x+2y可转化为y=-2x+,
作出直线y=-2x并平移,显然当其过点A时纵截距最大.
解方程组得A(2,1),∴zmax=10.
6.已知a、b、c满足cA.ab>acB.c(b-a)>0C.ab2>cb2D.ac(a-c)<0
答案 C
解析 ∵c0,c<0.
而b与0的大小不确定,在选项C中,若b=0,则ab2>cb2不成立.
7.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则M∩N为( )
A.{x|-4≤x<-2或3
D.{x|x<-2或x≥3}
答案 A
解析 ∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7},
N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2或x>3},
∴M∩N={x|-4≤x<-2或3
A.-1答案 C
解析 (x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)<1⇔-x2+x+(a2-a-1)<0恒成立
⇔Δ=1+4(a2-a-1)<0⇔-9.在下列各函数中,最小值等于2的函数是( )
A.y=x+
B.y=cos x+ (0
D.y=ex+-2
答案 D
解析 选项A中,x>0时,y≥2,x<0时,y≤-2;
选项B中,cosx≠1,故最小值不等于2;
选项C中,==+,
当x=0时,ymin=.
选项D中,ex+-2>2-2=2,
当且仅当ex=2,
即x=ln2时,ymin=2,适合.
10.若x,y满足约束条件,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是( )
A.(-1,2) B.(-4,2)C.(-4,0] D.(-2,4)
答案 B
解析 作出可行域如图所示,
直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,
由图象可知-1<-<2,
即-411.若x,y∈R+,且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为( )
A.12B.14C.16D.18
答案 D
解析 由2x+8y-xy=0,得y(x-8)=2x,
∵x>0,y>0,∴x-8>0,得到y=,
则μ=x+y=x+=x+
=(x-8)++10≥2+10=18,
当且仅当x-8=,即x=12,y=6时取“=”.
12.若实数x,y满足则的取值范围是( )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.[1,+∞)
答案 B
解析 可行域如图阴影,的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率,易求得>1或<-1.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.若A=(x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则A、B的大小关系为________.
答案 A14.不等式>0的解集是
________________________________________________________________________.
答案 {x|-5
15.如果a>b,给出下列不等式:
①<;②a3>b3;③>;④2ac2>2bc2;
⑤>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.
其中一定成立的不等式的序号是________.
答案 ②⑥
解析 ①若a>0,b<0,则>,故①不成立;
②∵y=x3在x∈R上单调递增,且a>b.
∴a3>b3,故②成立;
③取a=0,b=-1,知③不成立;
④当c=0时,ac2=bc2=0,2ac2=2bc2,
故④不成立;
⑤取a=1,b=-1,知⑤不成立;
⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)
=[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0,
∴a2+b2+1>ab+a+b,故⑥成立.
16.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于2千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要________小时.
答案 8
解析 这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则
t==+≥2=8(小时),
当且仅当=,即v=100时等号成立,
此时t=8小时.
三、解答题(本大题共6小题,共74分)
17.(12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3
(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R.
解 (1)由题意知1-a<0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,
∴,解得a=3.
∴不等式2x2+(2-a)x-a>0
即为2x2-x-3>0,解得x<-1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2+bx+3≥0,即为3x2+bx+3≥0,
若此不等式解集为R,则b2-4×3×3≤0,∴-6≤b≤6.
18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.
解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0,
即<0.
①当-<,即a>0时,-
③当->,即a<0时,
当a=0时,原不等式的解集为∅;
当a<0时,原不等式的解集为.
19.(12分)证明不等式:a,b,c∈R,a4+b4+c4≥abc(a+b+c).
证明 ∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,
c4+a4≥2c2a2,
∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc.
∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),
即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).
20.(12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,由题意知
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.
作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线x+0.5y=0的距离最大,这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.
解方程组
得x=4,y=6,此时z=1×4+0.5×6=7(万元).
∵7>0,∴当x=4,y=6时,z取得最大值.
答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.
21.(12分)设a∈R,关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1,x2,且0
因为x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,
且0
⇒⇒
⇒-2所以a的取值范围是{a|-222.(14分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台,每批都购入x台(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4台,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
解 (1)设题中比例系数为k,若每批购入x台,则共需分批,每批价值20x.
由题意f(x)=·4+k·20x,
由x=4时,y=52,得k==.
∴f(x)=+4x (0
当且仅当=4x,即x=6时,上式等号成立.
故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.
- 02-10高中数学必修5配套练习 不等关系与不等式 第1课时
- 02-08高中数学选修4-5学业分层测评11 Word版含答案
- 02-08高中数学必修5学业分层测评18 一元二次不等式的应用 Word版含解析
- 02-06高中数学必修5学业分层测评8 等差数列的概念与简单表示 Word版含解析
- 02-05高中数学必修5学业分层测评11 等差数列前n项和的综合应用 Word版含解析
- 02-05高中数学选修4-5课时提升作业 三 1.1.3
- 02-05高中数学必修5练习 一元二次不等式及其解法(二) Word版含解析
- 02-05高中数学必修5练习 一元二次不等式及其解法 Word版含解析
- 02-05高中数学选修4-5课时提升作业 七 2.2
- 02-05人教版高中数学选修4-4练习:第一讲四柱坐标系与球坐标系简介 Word版含解析