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第三章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
2．已知x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，则xy( )
A．有最大值eB．有最大值
C．有最小值eD．有最小值
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M>NB．M≥N
C．M4．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为( )
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a)
C．(－3,4) D．(2a,6a)
5．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2>b2B．()a<()b
C．lg(a－b)>0 D.>1
6．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
7．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A．[－1,1]B．[－2,2]
C．[－2,1]D．[－1,2]
8．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.>B.＋≤1
C.≥2D.≤
9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为( )
A．4B．6
C．8D．10
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
11．设M＝，且a＋b＋c＝1 (其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是( )
A.B.
C．[1,8) D．[8，＋∞)
12．函数f(x)＝x2－2x＋，x∈(0,3)，则( )
A．f(x)有最大值B．f(x)有最小值－1
C．f(x)有最大值1D．f(x)有最小值1
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知t>0，则函数y＝的最小值为
________________________________________________________________________．
14．对任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．
18．(12分)已知a，b，c∈(0，＋∞)．
求证：()·()·()≤.
19．(12分)若a<1，解关于x的不等式>1.
20．(12分)求函数y＝的最大值．
21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
产品消耗量资源
甲产品
(每吨)
乙产品
(每吨)
资源限额
(每天)
煤(t)
9
4
360
电力(kw·h)
4
5
200
劳动力(个)
3
10
300
利润(万元)
6
12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？
第三章 不等式章末检测答案(B)
1．D [∵a<0，－1∴ab>0，ab2<0.
∴ab>a，ab>ab2.
∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，
∴a2．C
3．A [∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3
＝(a－1)2＋2>0.∴M>N.]
4．B [∵x2－ax－12a2<0(a<0)
⇔(x－4a)(x＋3a)<0
⇔4a5．B [取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．
故选B.]
6．D [∵x>1，∴x＋＝(x－1)＋＋1≥
2＋1＝3.∴a≤3.]
7．A [f(x)≥x2⇔或
⇔或
⇔或
⇔－1≤x≤0或0⇔－1≤x≤1.]
8．D [取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，
故选D.]
9．C [可行域如阴影，当直线u＝x＋3y过A(－2，－2)时，
u有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B(，)时u有最大值＋3×＝.
∴u＝x＋3y∈[－8，]．
∴z＝|u|＝|x＋3y|∈[0,8]．故选C.]
10．B [设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝s×，ta＋tb＝s⇒2t＝，
∴T－2t＝－＝s×＝>0，
故选B.]
11．D [M＝
＝
＝··
≥2·2·2＝8.
∴M≥8，当a＝b＝c＝时取“＝”．]
12．D [∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，
∴(x－1)2∈[0,4)，
∴f(x)＝(x－1)2＋－1
≥2－1＝2－1＝1.
当且仅当(x－1)2＝，且x∈(0,3)，
即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1.]
13．－2
解析 ∵t>0，
∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2.
14．－2解析 当a＝2时，－4<0恒成立，∴a＝2符合．
当a－2≠0时，则a应满足：
解得－2综上所述，－215．5≤a<7
解析 先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．
由图知：5≤a<7.
16．20
解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为(·4＋4x)万元，·4＋4x≥160，当＝4x即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
17．解 ∵(＋)－(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)(－)
＝(a2－b2)＝
又∵a>0，b>0，a≠b，
∴(a－b)2>0，a－b>0，ab>0，
∴(＋)－(a＋b)>0，∴＋>a＋b.
18．证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，
c＋a≥2>0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc>0.
∴≤
即()·()·()≤.
当且仅当a＝b＝c时，取到“＝”．
19．解 不等式>1可化为>0.
∵a<1，∴a－1<0，
故原不等式可化为<0.
故当0{x|2当a<0时，原不等式的解集为
{x|当a＝0时，原不等式的解集为∅.
20．解 设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，
则y＝.
当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝≤＝.
当且仅当2t＝，即t＝时等号成立．
即当x＝－时，ymax＝.
21．解 (1)设DN的长为x(x>0)米，
则AN＝(x＋2)米．
∵＝，∴AM＝，
∴SAMPN＝AN·AM＝，
由SAMPN>32，得>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得：06，
即DN长的取值范围是(0，)∪(6，＋∞)．
(2)矩形花坛AMPN的面积为
y＝＝
＝3x＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当3x＝，即x＝2时，
矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，
最小值为24平方米．
22．解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元．
依题意可得约束条件：
作出可行域如图.
利润目标函数z＝6x＋12y，
由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解方程组，
得x＝20，y＝24，即M(20,24)．
答 生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若a<0，－1
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
2．已知x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，则xy( )
A．有最大值eB．有最大值
C．有最小值eD．有最小值
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M>NB．M≥N
C．M
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a)
C．(－3,4) D．(2a,6a)
5．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2>b2B．()a<()b
C．lg(a－b)>0 D.>1
6．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
7．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A．[－1,1]B．[－2,2]
C．[－2,1]D．[－1,2]
8．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.>B.＋≤1
C.≥2D.≤
9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为( )
A．4B．6
C．8D．10
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
11．设M＝，且a＋b＋c＝1 (其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是( )
A.B.
C．[1,8) D．[8，＋∞)
12．函数f(x)＝x2－2x＋，x∈(0,3)，则( )
A．f(x)有最大值B．f(x)有最小值－1
C．f(x)有最大值1D．f(x)有最小值1
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知t>0，则函数y＝的最小值为
________________________________________________________________________．
14．对任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．
18．(12分)已知a，b，c∈(0，＋∞)．
求证：()·()·()≤.
19．(12分)若a<1，解关于x的不等式>1.
20．(12分)求函数y＝的最大值．
21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
产品消耗量资源
甲产品
(每吨)
乙产品
(每吨)
资源限额
(每天)
煤(t)
9
4
360
电力(kw·h)
4
5
200
劳动力(个)
3
10
300
利润(万元)
6
12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？
第三章 不等式章末检测答案(B)
1．D [∵a<0，－1
∴ab>a，ab>ab2.
∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，
∴a
3．A [∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3
＝(a－1)2＋2>0.∴M>N.]
4．B [∵x2－ax－12a2<0(a<0)
⇔(x－4a)(x＋3a)<0
⇔4a
故选B.]
6．D [∵x>1，∴x＋＝(x－1)＋＋1≥
2＋1＝3.∴a≤3.]
7．A [f(x)≥x2⇔或
⇔或
⇔或
⇔－1≤x≤0或0
8．D [取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，
故选D.]
9．C [可行域如阴影，当直线u＝x＋3y过A(－2，－2)时，
u有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B(，)时u有最大值＋3×＝.
∴u＝x＋3y∈[－8，]．
∴z＝|u|＝|x＋3y|∈[0,8]．故选C.]
10．B [设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝s×，ta＋tb＝s⇒2t＝，
∴T－2t＝－＝s×＝>0，
故选B.]
11．D [M＝
＝
＝··
≥2·2·2＝8.
∴M≥8，当a＝b＝c＝时取“＝”．]
12．D [∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，
∴(x－1)2∈[0,4)，
∴f(x)＝(x－1)2＋－1
≥2－1＝2－1＝1.
当且仅当(x－1)2＝，且x∈(0,3)，
即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1.]
13．－2
解析 ∵t>0，
∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2.
14．－2
当a－2≠0时，则a应满足：
解得－2
解析 先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．
由图知：5≤a<7.
16．20
解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为(·4＋4x)万元，·4＋4x≥160，当＝4x即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
17．解 ∵(＋)－(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)(－)
＝(a2－b2)＝
又∵a>0，b>0，a≠b，
∴(a－b)2>0，a－b>0，ab>0，
∴(＋)－(a＋b)>0，∴＋>a＋b.
18．证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，
c＋a≥2>0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc>0.
∴≤
即()·()·()≤.
当且仅当a＝b＝c时，取到“＝”．
19．解 不等式>1可化为>0.
∵a<1，∴a－1<0，
故原不等式可化为<0.
故当0
{x|
20．解 设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，
则y＝.
当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝≤＝.
当且仅当2t＝，即t＝时等号成立．
即当x＝－时，ymax＝.
21．解 (1)设DN的长为x(x>0)米，
则AN＝(x＋2)米．
∵＝，∴AM＝，
∴SAMPN＝AN·AM＝，
由SAMPN>32，得>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得：0
即DN长的取值范围是(0，)∪(6，＋∞)．
(2)矩形花坛AMPN的面积为
y＝＝
＝3x＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当3x＝，即x＝2时，
矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，
最小值为24平方米．
22．解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元．
依题意可得约束条件：
作出可行域如图.
利润目标函数z＝6x＋12y，
由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解方程组，
得x＝20，y＝24，即M(20,24)．
答 生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．
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