本文由 yccsb 收集发布,转载请注明出处,如有问题请联系我们!高中数学选修4-5练习:第一讲1.1-1.1.2基本不等式 Word版含解析
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.2 基本不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知a,b∈R,且ab ≠0,则下列结论恒成立的是( )
A.a+b≥2 B.+≥2
C.≥2 D.a2+b2>2ab
解析:当a,b都是负数时,A不成立;
当a,b一正一负时,B不成立;
当a=b时,D不成立,因此只有C是正确的.
答案:C
2.下列各式中,最小值等于2的是( )
A.+ B.
C.tan θ+ D.2x+2-x
解析:因为2x>0,2-x>0,
所以2x+2-x≥2=2.
当且仅当2x=2-x,即x=0时,等号成立.
答案:D
3.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是( )
A.10 B.6
C.4 D.18
解析:3x+3y≥2=2=2=18,
当且仅当x=y=时,等号成立.
答案:D
4.设x,y为正数,则(x+y)的最小值为( )
A.6 B.9
C.12 D.15
解析:x,y为正数,(x+y)=1+4++≥9,当且仅当=,即y=2x时,等号成立,选B.
答案:B
5.(2015·福建卷)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:因为直线+=1过点(1,1),所以+=1.
又a,b均大于0,
所以a+b=(a+b) =1+1++≥2+2=2+2=4,当且仅当a=b时,等号成立.
答案:C
二、填空题
6.设x>0,则函数y=3-3x-的最大值是________.
解析:y=3-≤3-2,
当且仅当3x=,即x=时,等号成立.
所以ymax=3-2.
答案:3-2
7.已知函数f(x)=2x,点P(a,b)在函数y=(x>0)的图象上,那么f(a)·f(b)的最小值是________.
解析:点P(a,b)在函数y=(x>0)的图象上,所以有ab=1.
因为a>0,b>0,所以f(a)·f(b)=2a·2b=2a+b≥22=4,
当且仅当a=b=1时,等号成立.
答案:4
8.当x>0时,f(x)=的值域是________.
解析:因为x>0,所以x+≥2,所以0<≤.
所以0<≤1.
又因为f(x)==,
所以0<f(x)≤1,当且仅当x=1时,等号成立.故f(x)的值域是(0,1].
答案:(0,1]
三、解答题
9.已知x<0,求2x+的最大值.
解:由x<0,得-x>0,
得-2x+≥2=2,
所以2x+≤-2,
当且仅当-2x=,
即x=-时等号成立.
故2x+取得最大值-2.
10.若a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:8abc≤(1-a)·(1-b)(1-c).
证明:因为a+b+c=1,
所以1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0.
所以(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(a+c).
因为a+b≥2>0,b+c≥2>0,a+c≥2>0,
三式相乘,得(a+b)(b+c)(a+c)≥2·2·2=8abc,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
所以8abc≤(1-a)(1-b)(1-c).
B级 能力提升
1.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,
则1+a++≥a+2+1≥9,
所以≥2或≤-4(舍去).
所以正实数a的最小值为4.
答案:B
2.(2015·山东卷)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为________.
解析:因为x⊗y=,
所以x⊗y+(2y)⊗x=+=≥==.
其中x>0,y>0,当且仅当x2=2y2,即x=y时等号成立.
答案:
3.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件.已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完,试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数;
(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
解:(1)由题意可设3-x=,将t=0,x=1代入,得k=2.
所以x=3-.
当年生产x万件时,年生产成本为32x+3=32×+3,
当销售x万件时,年销售收入为
150%×+t.
由题意,生产x万件化妆品正好销完,
得年利润y=(t≥0).
(2)y==50-≤
50-2 =50-2=42,
当且仅当=,即t=7时,等号成立,ymax=42,
所以当促销费定在7万元时,年利润最大.
1.1 不等式
1.1.2 基本不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知a,b∈R,且ab ≠0,则下列结论恒成立的是( )
A.a+b≥2 B.+≥2
C.≥2 D.a2+b2>2ab
解析:当a,b都是负数时,A不成立;
当a,b一正一负时,B不成立;
当a=b时,D不成立,因此只有C是正确的.
答案:C
2.下列各式中,最小值等于2的是( )
A.+ B.
C.tan θ+ D.2x+2-x
解析:因为2x>0,2-x>0,
所以2x+2-x≥2=2.
当且仅当2x=2-x,即x=0时,等号成立.
答案:D
3.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是( )
A.10 B.6
C.4 D.18
解析:3x+3y≥2=2=2=18,
当且仅当x=y=时,等号成立.
答案:D
4.设x,y为正数,则(x+y)的最小值为( )
A.6 B.9
C.12 D.15
解析:x,y为正数,(x+y)=1+4++≥9,当且仅当=,即y=2x时,等号成立,选B.
答案:B
5.(2015·福建卷)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:因为直线+=1过点(1,1),所以+=1.
又a,b均大于0,
所以a+b=(a+b) =1+1++≥2+2=2+2=4,当且仅当a=b时,等号成立.
答案:C
二、填空题
6.设x>0,则函数y=3-3x-的最大值是________.
解析:y=3-≤3-2,
当且仅当3x=,即x=时,等号成立.
所以ymax=3-2.
答案:3-2
7.已知函数f(x)=2x,点P(a,b)在函数y=(x>0)的图象上,那么f(a)·f(b)的最小值是________.
解析:点P(a,b)在函数y=(x>0)的图象上,所以有ab=1.
因为a>0,b>0,所以f(a)·f(b)=2a·2b=2a+b≥22=4,
当且仅当a=b=1时,等号成立.
答案:4
8.当x>0时,f(x)=的值域是________.
解析:因为x>0,所以x+≥2,所以0<≤.
所以0<≤1.
又因为f(x)==,
所以0<f(x)≤1,当且仅当x=1时,等号成立.故f(x)的值域是(0,1].
答案:(0,1]
三、解答题
9.已知x<0,求2x+的最大值.
解:由x<0,得-x>0,
得-2x+≥2=2,
所以2x+≤-2,
当且仅当-2x=,
即x=-时等号成立.
故2x+取得最大值-2.
10.若a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:8abc≤(1-a)·(1-b)(1-c).
证明:因为a+b+c=1,
所以1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0.
所以(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(a+c).
因为a+b≥2>0,b+c≥2>0,a+c≥2>0,
三式相乘,得(a+b)(b+c)(a+c)≥2·2·2=8abc,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
所以8abc≤(1-a)(1-b)(1-c).
B级 能力提升
1.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,
则1+a++≥a+2+1≥9,
所以≥2或≤-4(舍去).
所以正实数a的最小值为4.
答案:B
2.(2015·山东卷)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为________.
解析:因为x⊗y=,
所以x⊗y+(2y)⊗x=+=≥==.
其中x>0,y>0,当且仅当x2=2y2,即x=y时等号成立.
答案:
3.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件.已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完,试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数;
(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
解:(1)由题意可设3-x=,将t=0,x=1代入,得k=2.
所以x=3-.
当年生产x万件时,年生产成本为32x+3=32×+3,
当销售x万件时,年销售收入为
150%×+t.
由题意,生产x万件化妆品正好销完,
得年利润y=(t≥0).
(2)y==50-≤
50-2 =50-2=42,
当且仅当=,即t=7时,等号成立,ymax=42,
所以当促销费定在7万元时,年利润最大.
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