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学业分层测评（十二）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
【解析】　因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.故选D.
【答案】　D
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D.0
【解析】　边数最少的凸n边形是三角形．
【答案】　C
3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于(　　)
【导学号：32750066】
A. B.
C. D.
【解析】　a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝＝，
猜想an＝.
【答案】　D
4．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是(　　)
A．2k＋1 B.
C．2(2k＋1) D.
【解析】　当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．
【答案】　C
5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上(　　)
A. B．π
C．2π D.π
【解析】　从n＝k到n＝k＋1时，
内角和增加π.
【答案】　B
二、填空题
6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________．
【答案】　1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2
＝(－1)n＋1·
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
【解析】　∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，
∴n＝k＋1时为使用归纳假设，
应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.
【答案】　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
8．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．
【解析】　34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.
【答案】　81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
…＝(n≥2，n∈N＋)．
【证明】　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.
∴等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，
即…＝(k≥2，k∈N＋)．
当n＝k＋1时，
…
＝·＝
＝＝，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．
10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式an－bn都能被a－b整除．
【证明】　(1)当n＝1时，an－bn＝a－b能被a－b整除．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak－bk能被a－b整除，那么当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因为(a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．这也就是说当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1能被a－b整除．
根据(1)(2)可知对一切正整数n，an－bn都能被a－b整除．
[能力提升]
1．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
【导学号：32750067】
A. B.
C.＋ D.－
【解析】　因为f(n)＝＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.
【答案】　D
2．某同学回答“用数学归纳法证明＜n＋1(n∈N＋)的过程如下：
证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的：
(2)假设n＝k时有＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n∈N＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于(　　)
A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设
B．归纳假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．当n＝1时，验证过程不具体
【解析】　证明＜(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设＜k＋1.
【答案】　A
3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应验证n＝________，当n＝k＋1时，左边的式子为________．
【解析】　∵所证明的等式为
22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，n＞1)．
又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)，
∴n应为2.
又∵当n＝k＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k＋1，
即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.
【答案】　2　22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
4．是否存在常数a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．
【解】　存在．分别用n＝1,2,3代入，解方程组得
故原等式右边＝－.
下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，由上式可知等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2.
则当n＝k＋1时，
左边＝[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)·＝(k＋1)4－(k＋1)2，故n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)得等式对一切n∈N＋均成立．