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学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1­3­12，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中与三角形①相似的是
(　　)
图1­3­12
A．②③④　　 B．③④⑤
C．④⑤⑥ D．②③⑥
【解析】　由相似三角形判定定理知选B.
【答案】　B
2．如图1­3­13，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列结论中正确的是(　　)
图1­3­13
A．△ABM∽△ACB
B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM
D．△CMN∽△BCA
【解析】　∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM.
∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，
∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC.
又＝，
∴△ANC∽△AM B.
【答案】　B
3．如图1­3­14，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于(　　)
【导学号：07370013】
图1­3­14
A. B.
C. D.
【解析】　∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，
∴＝＝.
【答案】　D
4．如图1­3­15，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得＝，则有(　　)
图1­3­15
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
【解析】　因为∠A＝∠C，＝＝2，所以△AED∽△CBD.
【答案】　B
5.如图1­3­16所示，已知点E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，BE，CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为(　　)
图1­3­16
A．4 B．4.5
C．5 D．6
【解析】　∵E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴＝＝.
又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.
【答案】　D
二、填空题
6．如图1­3­17，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________.
图1­3­17
【解析】　在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A为公共角，∴△ACE∽△ADB，∴＝，
∴AE＝＝＝＝8，则DE＝AE－AD＝5，
在Rt△ACE中，CE＝＝＝2.
【答案】　5　2
7．如图1­3­18，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.
图1­3­18
【解析】　由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可以推得：
Rt△ABE∽Rt△ADC，故＝
∴AE＝＝2.
【答案】　2
8.如图1­3­19，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________. 【导学号：07370014】
图1­3­19
【解析】　∵DE∶EC＝1∶2，
∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.
∵AB∥EC，
∴△ABF∽△CEF，
∴＝＝，∴＝.
【答案】　3∶5
三、解答题
9．如图1­3­20，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.
求证：PB2＝PE·PF.
图1­3­20
【证明】　连接PC.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBD＝∠PCD，
∴∠ABP＝∠ACP.
又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，
而∠CPE＝∠FPC.
∴△PCE∽△PFC，
∴＝，∴PC2＝PE·PF，
即PB2＝PE·PF.
10.如图1­3­21，某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1 700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．
图1­3­21
(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；
(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？
【解】　(1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．
(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，
BE＝1 700－500＝1 200米，
∴AE＝＝1 500(米)，
由△ABE∽△CFE，得到＝，
即＝，
可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，
得＝，
即＝，可得BH＝720(米)．
由△ABE∽△DGA，得＝，
即＝，
可得DG＝1020(米)．
所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576 000(元)，300×800＝240 000(元)，1 020×800＝816 000(元)．
[能力提升]
1.如图1­3­22所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是(　　)
图1­3­22
A.＝　　　 B.＝
C．AC2＝CD·CB D．CD2＝AC·AB
【解析】　∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.
【答案】　C
2．如图1­3­23所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是(　　)
图1­3­23
A．△DAB∽△OCA
B．△OAB∽△ODA
C．△BAC∽△BDA
D．△OAC∽△ABD
【解析】　设OA＝OB＝BC＝CD＝a，
则AB＝a，BD＝2a，
∴＝，＝＝，
∴＝，且∠ABC＝∠DBA，
∴△BAC∽△BDA.
【答案】　C
3．如图1­3­24所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝B.当BD＝__________时，△ABC∽△CDB.
图1­3­24
【解析】　由＝即可得到．
【答案】　
4．如图1­3­25所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE)．
图1­3­25
(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(2)设＝k，是否存在这样的k值 ，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论，并求出k的值；若不存在，说明理由．
【解】　(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.
∵EF⊥EC，A，E，D共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.
又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，
∴△AEF∽△DCE，∴＝，
∴AE＝DE，∴＝.
又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.
(2)存在．由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，
∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.
由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.
∴＝＝＝，即k＝.
反过来，在k＝时，＝，∠DCE＝30°，
∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，
∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.
∴△AEF∽△BCF.