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1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教材分析
本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.
接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.
教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.
关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.
柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.
与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.
值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.
3．情感、态度与价值观
通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.
三、重点难点
教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.
教学难点：表面积和体积计算公式的应用.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？
思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)
图1
②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？
④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？
⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？
活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.
②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.
③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.
④学生思考圆台的侧面展开图的形状.
⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.
讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.
②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.
③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.
我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).

图2 图3
圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).
点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).
图4
⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：
圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：
S圆柱表=2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)S圆锥表=πr(r+l).
从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.
提出问题
①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？
②比较柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；
V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；
V台体=h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).
你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？
活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.
②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？
讨论结果：
①棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；
长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；
底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，
可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.
圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V= (S为底面面积，h为高).
由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.
由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S′++S)h,
其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.
注意：不要求推导公式，也不要求记忆.
②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.
柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：
图5
（三）应用示例
思路1
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.
图6
活动：回顾几何体的表面积含义和求法.
分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.
解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.
因为BC=a,SD=,
所以S△SBC=BC·SD=.
因此，四面体S—ABC的表面积S=4×.
点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.
变式训练
1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积.
解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧=S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆锥的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l=，根据圆锥的侧面积公式得
S圆锥侧=πrl=π·r·.
2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）
A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27
分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为()∶［·2h］∶［·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.
答案：B
3.三棱锥V—ABC的中截面是△A1B1C1，则三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A—A1BC的体积之比是（ ）
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8
分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A—A1BC转化为三棱锥A1—ABC，这样三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A1—ABC的高相等，底面积之比为　1∶4，于是其体积之比为1∶4.
答案：B
例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）
图7
活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.
解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［］-π()2≈1 000(cm2)=0.1(m2).
涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.
答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.
点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.
变式训练
1.有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）
解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，
∵圆柱的侧面积为S侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m2，
又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，
∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m2，
因此油漆工完成任务所需的时间t=≈6.37秒.
点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.
2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.
分析：由题意得三棱锥的体积是(x-2)2+，由于x＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值.
答案：
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）
图8
活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.
解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=×122×6×10-3.14×()2×10≈2 956(mm3)=2.956(cm3).
所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).
答：这堆螺帽大约有252个.
点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.
变式训练
如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）
图9
解：如图10，设水面的半径为r，则EH=r-2分米，BG=2分米，
图10
在△ABG中，∵EH∥BG，
∴.∵AH=2分米,
∴.∴r=分米.
∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为
V水=·3［()2+×4+42］=立方分米,
∴所用的时间为≈36.69秒.
答：所用的时间为36.69秒.
思路2
例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
图11
A.1 B. C. D.
活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=.
图12
答案：D
点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.
变式训练
1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
图13
A. B. C. D.
分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为
3×4×2+2××4×=24+.
图14
答案：C
2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为V=.
答案：A
3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
图15
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S.
解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.
图16
（1）V=×(8×6)×4=64.
(2)设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，
在△VBC中，BC边上的高为h1=,
在△VAB中，AB边上的高为h2==5.
所以此几何体的侧面积S==40+.
点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.
例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）
图17
活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.
解：正方体的表面积为16×6=96（cm2），
一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm2），
则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm2）.
答：几何体的表面积为133.68 cm2.
点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.
变式训练
图18所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.
图18
分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.
解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为12×9=9（ cm2），
前面的表面积为12×8=8（ cm2），左面的表面积为12×7=7（ cm2），
则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm2).
答：此几何体的表面积为48 cm2.
（四）知能训练
1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（ ）
A. B.64 C.16 D.96
分析：设正方体的棱长为a，则6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64.
答案：B
2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π
分析：设圆锥的母线长为l，则l==2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.
答案：C
3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
分析：可得正三棱锥的高h==3，于是V=.
答案：D
4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍.
分析：圆柱的体积公式为V圆柱=πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍.
答案：4 16
5.图20是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿△GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?
图20
分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥.
解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3.
三棱锥的底面是Rt△AGF，即∠FAG为90°，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以AF=AG=.所以△AGF的面积为.又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以AH=.所以锯掉的部分的体积为.
又因,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.
6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是____________.
分析：如图21，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得解得r=，所以圆锥的底面积为πr2=.
图21
答案：
7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.

图22 图23
分析：图22中容器内水面的高度为h，水的体积为V，则V=S△ABCh.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为，高度为2a，则V=·2a，∴h=.
答案：
8.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.
分析：设这个圆台的高为h，画出圆台的轴截面，可得，解得h=3，所以这个圆台的体积是(22+2×4+42)×3=28π.
答案：28π
9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（ ）
图24
A. cm3 B.cm3 C.2 000 cm3 D.4 000 cm3
分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm2，所以该几何体的体积是×400×20=cm3.
答案：B
（五）拓展提升
问题：有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是___________.
探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：
四棱柱有一种，就是边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2+28，三棱柱有两种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a2+32，边长为3a的边重合在一起，表面积为24a2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a2+48,
最小的是一个四棱柱，这说明24a2+28＜12a2+4812a2＜200＜a＜.
答案：0＜a＜
（六）课堂小结
本节课学习了：
1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.
2.应用体积公式解决有关问题.
（七）作业
习题1.3 A组 第1、2、3题.
1.3.2 球的体积和表面积
一、教材分析
本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）
（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.
（3）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.
（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.
3．情感、态度与价值观
通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.
三、重点难点
教学重点：球的表面积和体积公式的应用.
教学难点：关于球的组合体的计算.
四、课时安排
约1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？
思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.
（二）推进新课、新知探究
球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=.
注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.
（三）应用示例
思路1
例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
图1
（1）球的体积等于圆柱体积的；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.
证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
则有V球=，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=.
（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.
点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.
变式训练
1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.
图2
解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=,又∵4πR2=324π,∴R=9.
∴AC=.∴a=8.
∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.
2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm3，精确到0.1 cm）.
解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为
7.9·［］=142,
∴x3=≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.
答：空心钢球的内径约为4.5 cm.
例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?
图3
活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.
解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3=9.3(m2),
半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×()2≈1.6(m2),
所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).
10.9×150≈1 635(朵).
答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.
点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.
变式训练
有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？
分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.
解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，
图4
圆锥底面半径r=,
圆锥母线l=2r=，圆锥高为h==3R，
∴V水=·3R2·3R，
球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=,设上底面半径为r′，
则高h′=(r-r′)tan60°=,
∴(r2+r′2+rr′),∴5R3=,
∴5R3=，
解得r′=,
∴h′=()R.
答：容器中水的高度为()R.
思路2
例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.
活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形.
分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=，则该球的表面积为S=4πR2=27π.
答案：27π
点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.
变式训练
1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A.16π B.20π C.24π D.32π
分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=，所以球的表面积为S=4πR2=24π.
答案：C
2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________.
分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为，于是球的半径为，V=.
答案：
3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.
分析：长方体的对角线为，则球的半径为,则球的表面积为4π()2=14π.
答案：14π
例2 图5是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？
图5
活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.
解：因为圆锥形铅锤的体积为×20=60π（cm3），
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为=100πx（ cm3）.
所以有60π=100πx，解此方程得x=0.6（ cm）.
答：杯里的水下降了0.6 cm.
点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.
变式训练
1.一个空心钢球，外直径为12 cm，壁厚0.2 cm，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm3）
分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.
解：空心钢球的体积为V钢=×20.888≈87.45(cm3)，
∴钢的质量为m钢=87.45×7.9=690.86(g).
∵水的体积为V水=×63=904.32(cm3)，
∴水的质量为m水=904.32×1=904.32(g)＞m钢.
∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m水.
∴同样大小的铅球会沉没.
答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.
2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm3.
分析：设四个实心铁球的球心为O1、O2、O3、O4，其中O1、O2为下层两球的球心，A、B、C、D分别为四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为 cm的正方形，所以注水高为(1+) cm.故应注水π(1+)-4×π cm3.
答案：（+）π
（四）知能训练
1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍
分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2、16πr2、36πr2，（倍）.
答案：C
2.（2006安徽高考，理9）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）
A. B. C. D.
分析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×知，a=1，则此球的直径为.
答案：A
3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.
分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为=5，所以球的表面积是4π×52=100π.
答案：100π
4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 g/cm3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm）.
解：由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9×≈516 792(g),
街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792,
所以钢球是空心的.
设球的内径是2x cm，那么球的质量为7.9·［］=145 000,
解得x3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).
答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.
5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π
分析：由题意得SO=r为三棱锥的高，△ABC是等腰直角三角形，所以其面积是×2r×r=r2,所以三棱锥体积是，又球的体积为，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.
答案：D
点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.
（五）拓展提升
问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）
图6
A.S1＜S2 B.S1＞S2 C.S1=S2 D.S1,S2的大小关系不能确定
探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则VA—BEFD=VO—ABD＋VO—ABE＋VO—BEFD+VO—ADF，VA—EFC=VO—AFC＋VO—AEC＋VO—EFC，又VA—BEFD=VA—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋SBEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.
图7
答案：C
（五）课堂小结
本节课学习了：
1.球的表面积和体积.
2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.
3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：
（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.
（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：
柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；
锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；
台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.
注意球没有高的结构特征.
（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.
（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章 点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.
（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.
（六）作业
课本本节练习 1、2、3.