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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
本章教材分析
本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.
本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.
“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.
本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：
2.1.1
平面
约1课时
2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
约1课时
2.1.3
空间中直线与平面之间的位置关系
约1课时
2.1.4
平面与平面之间的位置关系
约1课时
2.2.1
直线与平面平行的判定
约1课时
2.2.3
直线与平面平行的性质
约1课时
2.2.2
2.2.4
平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质
约1课时
2.3.1
直线与平面垂直的判定
约1课时
2.3.2
平面与平面垂直的判定
约1课时
2.3.3
直线与平面垂直的性质
约1课时
2.3.4
平面与平面垂直的性质
约1课时
本章复习
约1课时
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
一、教材分析
平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价值观
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.
三、重点难点
三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.
四、课时安排
1课时
五、教学过程
（一）导入新课
思路1.(情境导入)
大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？
图1
长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①怎样理解平面这一最基本的几何概念;
②平面的画法与表示方法;
③如何描述点与直线、平面的位置关系？
④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？
⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？
⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？
⑧自己总结三个公理的有关内容.
活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：
①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.
②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.
③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.
④确定一条直线需要几个点？
⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.
⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.
⑦文字语言、图形语言、符号语言.
⑧平面的基本性质小结.
讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).
②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.

图2 图3
平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.

图4 图5
③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：
点A在直线a上（或直线a经过点A）
A∈a
元素与集合间的关系
点A在直线a外（或直线a不经过点A）
Aa
点A在平面α内（或平面α经过点A）
A∈α
点A在平面α外（或平面α不经过点A）
Aα
④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.
空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.

图6 图7
请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.
若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,则aα.如图（图7）.
⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.
上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
如图（图8）.
图8
公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.
⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？
不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.
现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.
问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.
这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.
图9
公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.
由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.
⑧“平面的基本性质”小结：
名称
作用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
（三）应用示例
思路1
例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
图10
活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.
解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.
变式训练
1.画图表示下列由集合符号给出的关系：
(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;
(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：如图11.
图11
2.根据下列条件，画出图形.
（1）平面α∩平面β=l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，Fl;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.
答案：如图12.
图12
点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：
(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.
(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.
例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.
图13
证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，
根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，
因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,
同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.
又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.
于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，
所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.
变式训练
求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,
图14
∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,bα.
∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.
而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,
即a、b、c、d在同一平面内.
点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：
(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.
(2)
思路2
例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.
图15
活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
解：如图16所示，连接CB，
∵C∈β,B∈β,∴直线CBβ.
图16
∵直线CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.
设直线CB与直线EF交于D,
∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.
∵A∈α,A∈平面ABC，
∴α∩平面ABC=直线AD.
变式训练
1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P与直线BC的位置关系.
图17
解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC，
它与平面α的交线为直线BC，DE平面ABC，
∴DE与α的交点P在直线BC上.
2.如图18，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为8 cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，
图18
(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面BB1C1C的交线.
(2)设过M、N、P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长.
解：(1)设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1=R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1=Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.如图18.
(2)正方体棱长为8 cm，B1R=BM=4 cm，又A1N=4 cm，B1Q=A1N,
∴B1Q=×4=（cm）.在△PB1Q中，B1P=4 cm，B1Q=cm，
∴PQ=cm.
点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线.
例2 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.
解：如图19,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,
图19
∴过A、B、C有一个平面β.
又∵AB∩α=P，且ABβ,
∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,
同理可证：Q∈l,R∈l,
∴P、Q、R三点共线.
变式训练
三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.
已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.
求证：l1、l2、l3相交于一点.
证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，
图20
∵l1β，l2β，且l1、l2不平行,
∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，
则P∈l1α,P∈l2γ,
∴P∈α∩γ=l3.
∴l1、l2、l3相交于一点P.
点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.
（四）知能训练
画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.
解：如图21,
图21
∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.
∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.
∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.
∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.
∴EF为所求.
（五）拓展提升
O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.
解：如图22,连接A1C1、AC，
图22
因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，
易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，
所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.
又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，
故P在两平面的交线上，即P∈AO1.
点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.
（六）课堂小结
1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.
2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.
名称
作用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.
（七）作业
课本习题2.1 A组5、6.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教材分析
空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
三、重点难点
两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.(情境导入）
在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.
学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.
教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.
思路2.（事例导入）
观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？
图1
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做异面直线？
②总结空间中直线与直线的位置关系.
③两异面直线的画法.
④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？
⑤什么是空间等角定理？
⑥什么叫做两异面直线所成的角？
⑦什么叫做两条直线互相垂直？
活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.
②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：
③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.
图2
④组织学生思考：
长方体ABCD—A′B′C′D′中，如图1,
BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？
通过观察得出结论：BB′与DD′平行.
再联系其他相应实例归纳出公理4.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示为：a∥b,b∥ca∥c.
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.
⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？
可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.
图3
针对这个定义，我们来思考两个问题.
问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？
答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.
图4
问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？
答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.
⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.
图5
（三）应用示例
思路1
例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
图6
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=.
同理，FG∥BD，且FG=.
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
变式训练
1.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD.
求证：四边形EFGH是菱形.
证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=.
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=,EF=.
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
因为AC=BD,所以EF=EH.
所以四边形EFGH为菱形.
2.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD，AC⊥BD.
求证：四边形EFGH是正方形.
证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且EH=.
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=，EF=.
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
因为AC=BD，所以EF=EH.
因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH为两异面直线AC与BD所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH.
所以四边形EFGH为正方形.
点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.
例2 如图7，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.
图7
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？
解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.
（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.
变式训练
如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.
图8
（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；
（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.
解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，
∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.
（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，
∵△AD′C是等边三角形.
∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.
点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.
思路2
例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.
求证：EB1∥DF，ED∥B1F.
活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.
证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.
图9
∵EGA1D1，B1C1A1D1,
∴EGB1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,
∴EB1GC1.
同理可证DFGC1，∴EB1DF.
∴四边形EB1FD是平行四边形.
∴ED∥B1F.
变式训练
如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：
图10
（1）AB与CC1；
（2）A1B1与DC；
（3）A1C与D1B；
（4）DC与BD1；
（5）D1E与CF.
解：（1）∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD,∴AB与CC1异面.
（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.
（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.
∴A1C与D1B相交.
（4）∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD,∴DC与BD1异面.
（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，
∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.
又AE∥DD1，
∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交.
点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB与A1C），有时看上去像相交（如图中的DC与D1B）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.
例2 如图11，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=AD，求异面直线AD和BC所成的角.
图11
解：设G是AC中点，连接EG、FG.
因E、F分别是AB、CD中点，故EG∥BC且EG=，FG∥AD，且FG=.由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即∠EGF为所求.
由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.
点评：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.
变式训练
设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=，CD=，且HG·HE·sin∠EHG=，求AB和CD所成的角.
解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，
图12
∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.
由题意可知EFGH是平行四边形，HG=，HE=，
∴HG·HE·sin∠EHG=sin∠EHG.
∴sin∠EHG=.
∴sin∠EHG=.故∠EHG=45°.
∴AB和CD所成的角为45°.
（四）知能训练
如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对____________.
图13
答案：三
（五）拓展提升
图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：
图14
①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（ ）
A.①③ B.①④ C.②③ D.③④
答案：D
（六）课堂小结
本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.
为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.
（七）作业
课本习题2.1 A组3、4.
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
一、教材分析
空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
三、教学重点与难点
正确判定直线与平面的位置关系.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.(情境导入)
一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系?
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？
图1
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做直线在平面内？
②什么叫做直线与平面相交?
③什么叫做直线与平面平行?
④直线在平面外包括哪几种情况?
⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.
活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬.
讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.
②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.
③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.
④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
⑤
直线在平面内
aα
直线与平面相交
a∩α=A
直线与平面平行
a∥α
（三）应用示例
思路1
例1 下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：如图2,
图2
我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；
A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；
A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确；
l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.
答案：B
变式训练
请讨论下列问题：
若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.
图3
解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求证：l与a、b、c共面.
证明：如图4,∵a∥b,
图4
∴a、b确定一个平面，设为α.
∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即lα.
同理b、c确定一个平面β，lβ,
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
∵两条相交直线确定一个平面,
∴α与β重合.故l与a、b、c共面.
变式训练
已知aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，
求证：PQα.
证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.
∴P∈β，aβ，Pa.又P∈α，aα，Pa,
由推论1：过P、a有且只有一个平面,
∴α、β重合.∴PQα.
点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.
思路2
例1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.
图5
用符号语言表示为：若a∩b=A,bα,则aα或a∩α=A.
变式训练
若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.
图6
用符号语言表示为：若a与b异面,aα,则b∥α或b∩α=A.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
例2 若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交
C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线
分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交.
图7
例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.
答案：D
变式训练
不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα,给出以下三个命题：
①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.
其中真命题是_____________.
分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，
图8
其中真命题是①.
答案：①
变式训练
若直线aα,则下列结论中成立的个数是( )
(1)α内的所有直线与a异面 (2)α内的直线与a都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a平行的直线
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A.
如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.
图9
答案：A
点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.
（四）知能训练
已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P.
求证：a与β相交,b与α相交.
证明：如图10,∵a∩b=P,
图10
∴P∈a,P∈b.
又bβ,∴P∈β.
∴a与β有公共点P,即a与β相交.
同理可证,b与α相交.
（五）拓展提升
过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？
解：(1)如图11,
C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.
如图12,

图11 图12 图13
显然，平面PQ是符合要求的平面.
(2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行.
点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.
（六）课堂小结
本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：
①直线在平面内——有无数个公共点,
②直线与平面相交——有且只有一个公共点,
③直线与平面平行——没有公共点.
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.
（七）作业
课本习题2.1 A组7、8.
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、教材分析
空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中平面与平面的位置关系；
（2）培养学生的空间想象能力.
2．过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.
3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.
三、教学重点与难点
平面与平面的相交和平行.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.
2.直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点,
②直线与平面相交——有且只有一个公共点,
③直线与平面平行——没有公共点.
（二）导入新课
思路1.(情境导入)
拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
图1
（三）推进新课、新知探究、提出问题
①什么叫做两个平面平行？
②两个平面平行的画法.
③回忆两个平面相交的依据.
④什么叫做两个平面相交?
⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.
活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.
问题②怎样体现两个平面平行的特点.
问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.
问题④回忆公理三.
问题⑤鼓励学生自我训练.
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点.
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2 图3
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l.
④两个平面相交——有一条公共直线.
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.
如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图4.
图4
（四）应用示例
思路1
例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.
图5
例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.
解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.
图6
变式训练
α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )
A.α、β都平行于直线l、m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β
D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β
分析：如图7,分别是A、B、C的反例.

图7
答案：D
点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.
思路2
例1 α∩β=l,aα,bβ,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.
解：如图8,直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.
图8
变式训练
α∩β=l,aα,bβ,b∩β=P,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.
解：如图9,直线a、b的位置关系是相交、异面.
图9
直线a、b不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后可以证明.
点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力.
例2 如图10，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，
图10
（1）画出l的位置；
（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长.
解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，
则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.
QN即为所求作的直线l.如图10.
（2）设QN∩A1B1=P,
∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1,
∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N,
∴A1P=D1N=C1D1=a.
∴PB1=A1B1－A1P=.
变式训练
画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.
解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，
图11
∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.
∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.
点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点.
（五）知能训练
三棱柱的各面把空间分成几部分?
解：分为21部分.
（六）拓展提升
已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a,
求证：b、c是异面直线.
证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.
(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.
(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.
∴ABβ,即bβ.这与b∩β=A矛盾.
∴b,c是异面直线.
（七）课堂小结
本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线.
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.
（八）作业
课本习题2.1 B组1、2、3.