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第四章 圆与方程
本章教材分析
上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力.
通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题.
本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):
4.1.1
圆的标准方程
1课时
4.1.2
圆的一般方程
1课时
4.2.1
直线与圆的位置关系
2课时
4.2.2
圆与圆的位置关系
2课时
4.3.1
空间直角坐标系
1课时
4.3.2
空间两点间的距离公式
1课时
本章复习
1课时
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一、教材分析
在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
（2）会用待定系数法求圆的标准方程.
2．过程与方法
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.
3．情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
三、教学重点与难点
教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.
教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)
说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.
课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).
然后上升到数学层次：
不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.
从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.
那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.
思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?
②具有什么性质的点的轨迹称为圆？
③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
图1
④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?
⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?
⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？
讨论结果：①根据两点之间的距离公式,得
|AB|=,
|CD|=.
②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).
③圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.
④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.
⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件=r.①
将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.
化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.②
若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程②,反之若点M的坐标满足方程②,这就说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.
⑥这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2.
提出问题
①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?
②确定圆的方程的方法和步骤是什么?
③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?
讨论结果：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：
1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；
2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；
3°解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
③点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：
当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:
1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆外;
2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;
3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,点在圆内.
（三）应用示例
思路1
例1 写出下列各圆的标准方程：
(1)圆心在原点,半径是3；
⑵圆心在点C(3,4),半径是;
(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；
(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.
解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9.
(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.
(3)方法一:圆的半径r=|CP|==5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.
(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=.
点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.
例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.
解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x-2)2+(y+3)2=25,
把点M1(5,-7),M2(-,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,
则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.
点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.
例3 △ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.
解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,
它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是
解此方程组得所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-6).
同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).
解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r==5,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.
思路2
例1 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01 m).
图2
解:建立坐标系如图,圆心在y轴上,由题意得P(0,4),B(10,0).
设圆的方程为x2+(y-b)2=r2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上,
所以解得
所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.
设点P2(-2,y0),由题意y0＞0,代入圆方程得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52,
解得y0=-10.5≈14.36-10.5=3.86(m).
答：支柱A2P2的长度约为3.86 m.
例2 求与圆x2+y2-2x=0外切,且与直线x+y=0相切于点(3,-)的圆的方程.
活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.
解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即=r+1, ①
由圆与直线x+y=0相切于点(3,-),得
解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.
点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.
变式训练
一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.
解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).
则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2.
因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,
所以解得
所以所求的圆的方程为(x+)2+(y-)2=.
解法二：由题意：圆的弦OP的斜率为3,中点坐标为(,),
所以弦OP的垂直平分线方程为y-=-(x-),即x+3y-5=0.
因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP的垂直平分线上,
所以由解得,即圆心坐标为C(-,).
又因为圆的半径r=|OC|=,
所以所求的圆的方程为(x+)2+(y-)2=.
点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r三个量,要求圆的标准方程即要求a、b、r三个量,有时可用待定系数法.
(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.
例3 求下列圆的方程:
(1)圆心在直线y=-2x上且与直线y=1-x相切于点(2,-1).
(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.
解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r==.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r2(r＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d==.又直线y=x-1被圆截得弦长为2,所以由弦长公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.
（四）知能训练
课本本节练习1、2.
（一）拓展提升
1.求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.
活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.
解:首先两平行线的距离d==2,所以半径为r==1.
方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=,得,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x组成的方程组得,因此圆心坐标为(,).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=1.
方法二：解方程组因此圆心坐标为(,).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=1.
点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.
（六）课堂小结
①圆的标准方程.
②点与圆的位置关系的判断方法.
③根据已知条件求圆的标准方程的方法.
④利用圆的平面几何的知识构建方程.
⑤直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
（七）作业
1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.
2.预习有关圆的切线方程的求法.
3.课本习题4.1 A组第2、3题.
4.1.2 圆的一般方程
一、教材分析
教材通过将二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化为(x+)2+(y+)2=后只需讨论D2+E2-4F＞0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F＜0.与圆的标准方程比较可知D2+E2-4F＞0时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆；当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
从而得出圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数相同,不等于0；(2)没有x·y这样的二次项；(3)D2+E2-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.
同圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2含有三个待定系数a、b、r一样,圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.
圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
2．过程与方法
通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
3．情感态度与价值观
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.
三、教学重点与难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.
②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.
④能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.
思路2.问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?
②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?
③给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.
④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.
⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?
讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.
②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.
③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.
④(x－a)2＋(y－b)2=r2中,r＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r＜0时不表示任何图形.
因此式子(x+)2+(y+)2=.
(ⅰ)当D2+E2-4F＞0时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆；
(ⅱ)当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);
(ⅲ)当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
综上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F＞0.
我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.
⑤圆的一般方程形式上的特点:
x2和y2的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.
圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.
（三）应用示例
思路1
例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.
(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;
(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.
解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,
而D2+E2-4F=1+9-9=1＞0,
所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(,-),半径为；
(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得
D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-1＜0,
所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.
点评:对于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D2+E2-4F与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.
变式训练
求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.
解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x－4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；
(2)x2+y2+2by=0配方,得x2＋(y+b)2=b2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.
例2 求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.
解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有
解得D=-8,E=6,F=0,
故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x－4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.
方法二：先求出OM1的中点E(,),M1M2的中点F(,),
再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-=-(x-), ①
AB的垂直平分线PF的直线方程y-=-3(x-), ②
联立①②得得则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.
方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,
即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.
方法四：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组,即
解此方程组得所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.
点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.
例3 已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ交x轴于N,
则N为OP的中点,即N(5,0).
因为|MN|=|OQ|=2(定长).
所以所求点M的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.
解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).
因为M是PQ的中点,所以 (*)
又因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=16上,所以x02+y02=16.将(*)代入得
(2x-10)2+(2y)2=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x0,y0).
②求出点M与点Q坐标间的关系 (Ⅰ)
③从(Ⅰ)中解出 (Ⅱ)
④将(Ⅱ)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.
这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.
变式训练
已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:设点M的坐标是(x,y),
点A的坐标是(x0,y0).
由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点,所以x=,y=.于是有x0=2x-4,y0=2y-3.
因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.②
把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-)2+(y-)2=1.
所以点M的轨迹是以(,)为圆心,半径长为1的圆.
思路2
例1 求圆心在直线l：x+y=0上,且过两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.
活动:学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程.
解:解两圆方程组成的方程组得两圆交点为(0,2),(-4,0).
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l上,所以得方程组
解得a=-3,b=3,r=.故所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.
例2 已知圆在x轴上的截距分别为1和3,在y轴上的截距为-1,求该圆的方程.
解法一:利用圆的一般方程.
设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知,该圆经过点(1,0),(3,0)和(0,-1),则有,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为x2+y2-4x+4y+3=0.
解法二:利用圆的标准方程.
由题意该圆经过P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心C(a,b)在PQ的垂直平分线上,故a=2.
因为|PC|=|RC|,所以.将a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).
而r=|PC|=,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=5.
例3 试求圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C′的方程.
活动：学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利用相关点法来求.
解法一:设P′(x,y)为所求曲线C′上任意一点,P′关于l的对称点为P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.
由题意可得解得 (*)
因为P(x0,y0)在圆C上,所以x02+y02-x0+2y0=0.将(*)代入
得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,
化简得x2+y2+4x-3y+5=0,即为C′的方程.
解法二:(特殊对称)圆C关于直线l的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C′,即求(,-1)关于直线l:x-y+1=0的对称点C′(-2,),因此所求圆C′的方程为(x+2)2+(y-)2=.
点评：比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单.
（四）知能训练
课本练习1、2、3.
（五）拓展提升
问题：已知圆x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m的值.
解:设P(x1,y1)、Q(x2,y2),
由消去y得5x2+4m-60=0. ①
由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m＞0,m＜15.
由韦达定理
因为PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,
即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0. ②
因为y1=3-,y2=3,所以y1y2=(3-)(3)=9-(x1+x2)+=9+,
y1+y2=6,代入②得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.
所以m=10,适合m＜15.所以实数m的值为10.
（六）课堂小结
1.任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D2+E2-4F＞0时,方程表示圆心为(-,-),半径为r=的圆.
2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.
3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.
（七）作业
习题4.1 A组1、6,B组1、2、3.